Zajtenberg Zajtenberg
1322
BLOG

Od Newtona do STW

Zajtenberg Zajtenberg Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 126

Sposób, w jaki STW wchłonęła mechanikę newtonowską, stanowi prześliczny przykład jak jedna teoria zastępuje drugą. Jest on w pewnym sensie wzorcowy, to znaczy zgodny z dość powszechnie uznawanym poglądem mówiącym, że stare teorie w zasadzie nie okazują się fałszywe. Po prostu po sformułowaniu nowej teorii, lepiej poznajemy granice zastosowania starej. W dodatku stara teoria staje się przypadkiem szczególnym tej nowej, jako odpowiednie przejście graniczne. Na schemacie wyglądałoby to tak:

image

Czyli wzajemną zależność fizyki Newtona i STW można wyrazić tak:

image

Najpierw stara teoria

Jak Newton pisał swoje równania, to nawet się nie spodziewał, że przyszłe pokolenia potraktują je, jako równania różniczkowe. A dokładniej: zwyczajne równania różniczkowe drugiego rzędu. Może dlatego, że w czasach Newtona nikt o takich równaniach nie słyszał, bo jeszcze ich nie wymyślono :).

Mimo to od jakiegoś czasu traktujemy wzór  F=ma  jako właśnie jako zbiór równań różniczkowych.

image

Rozwiązywanie tych równań nie jest łatwe, więc całe pokolenia kombinowały jak się do nich dobrać poprzez zmniejszenie liczby zmiennych, zmianę układu współrzędnych czy znajdowanie wielkości, które pozostają stałe w czasie ruchu. Urodziły się od tego dwa podejścia tzw. lagranżowskie i hamiltonowskie. Nie czas i miejsce objaśniać czym się różnią od „tradycyjnego” podejścia Newtona. Dość powiedzieć, że dużą część fizycznych, interesujących przypadków ruchu da się wyrazić we wszystkich trzech formalizmach. Dlatego wydaje mi się uzasadnionym nazywać ten zestaw, po prostu mechaniką newtonowską.

Kawałek teorii odpowiedzialny za względność ruchu, czyli to, co dziś nazywamy przekształceniami Galileusza, nie jest jej centralnym punktem. Ale jest dość dobrze z nią zintegrowany głównie dlatego, że o ile prędkości są względne (u to prędkość pomiędzy dwoma inercjalnymi układami współrzędnych):

v’ = v + u

to przyspieszenia już nie. Jak zróżniczkujemy powyższy wzór, to się okaże że przyspieszenie jest jednakowe w obu układach:

a’ = a

Dobrze współgra to z drugą zasadą dynamiki, bo siły też są niezależne od układu. Co więcej ułatwia nam analizę układów nieinercjalnych, bo wiadomo, że w takim układzie trzeba dodać siły bezwładności, by uzyskać prawidłowe wnioski.

Mimo to większość rozpatrywanych przypadków nie korzysta jawnie z galileuszowskiej zasady względności, bo bardziej interesuje nas zachowanie ciał w danym układzie współrzędnych i nie trapi nas zagadnienie jak to wszystko będzie wyglądać w innym układzie.

Nadchodzi STW

STW urodziło się z prób dostosowania elektrodynamiki, czyli równań Maxwella, do mechaniki newtonowskiej. Ponieważ sprawy względności ruchu nie są istotnym punktem teorii klasycznej, równania Maxwella mogły sobie przez dwie dekady pokojowo współistnieć z zasadą Galileusza, pomimo niezgodności. W końcu jednak wyszło szydło z worka i spróbowano dostosować ową zasadę z prawami rządzącymi polem e-m. Dzieje się to jeszcze „przed Einsteinem” czyli na przełomie wieku XIX i XX wieku. Najbardziej zasłużony wydaje się tu być H. Poincare. W 1905 roku Einstein przepisuje uzyskane wtedy wzory, dodając jednak coś od siebie. Ale oddajmy głos Feynmanowi (cytat z jego sławnych „Wykładów z fizyki”):

Przez ponad 200 lat uważano, że sformułowane przez Newtona równania ruchu opisują przyrodę w sposób poprawny. Gdy po raz pierwszy znaleziono w tych równaniach błąd, podano tez od razu sposób jego usunięcia. Zarówno błąd, jak i poprawkę odkrył Einstein w roku 1905.

Drugie prawo Newtona, które wyraziliśmy równaniem:

F = d(mv) / dt

zostało sformułowane przy milczącym założeniu, że m jest stałą. (…) W poprawionym przez Einsteina wzorze m przyjmuje wartość:

image

(…) W tym miejscu ci, którzy chcą się zapoznać z teorią względności na tyle tylko, aby móc rozwiązywać zadania, wiedzą już wszystko – należy po prostu do praw Newtona wprowadzić poprawkę na masę.

Jak widać to proste założenie, pokazuje, że dynamika w STW jest niczym innym jak pewnym uogólnieniem równań Newtona. Uogólnieniem bazującym na założeniu, że pęd nie jest proporcjonalny do prędkości, ale zależy od niej nieliniowo. Widać, że stara teoria nie została „obalona”, to po prostu przypadek szczególny, gdy możemy przyjąć, że prędkości są tak małe, że możemy brać masę za stałą.

A inne teorie?

No właśnie. Powyższy przykład jest zbyt idealny, by pasował zawsze. W innych razach, kiedy to dokonuje się taki teoriowy płodozmian, nie musi być tak ładnie. Przykłady w następnych notkach.

Zajtenberg
O mnie Zajtenberg

Amator muzyki "młodzieżowej" i fizyki. Obie te rzeczy wspominam na blogu, choć interesuję się i wieloma innymi. Tematycznie: | Spis notek z fizyki | Notki o mechanice kwantowej | Do ściągnięcia: | Wypiski o fizyce (pdf) | Historia The Beatles (pdf)

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie