Wielki niemiecki matematyk Dawid Hilbert mówił: "Każdy człowiek ma swój obszar zainteresowań będący jego horyzontem. Gdy ten się zawęża i staje się nieskończenie mały, zmienia się w punkt. Wówczas człowiek mawia – to jest mój punkt widzenia."
30 kwietnia 1777 r. urodził się Karol Fryderyk Gauss, matematyk i jeden z największych umysłów swoich czasów. Król Hanoweru, Jerzy V wybił po jego śmierci, na jego cześć medal w 1856 r. z napisem "Król matematyki". Z tym tytułem, słynny Niemiec i pozostał w historii. Przed i po Gaussie żyli wielcy uczeni, ale to, co wyróżniało go spośród innych, to wszechogarniający umysł, szerokie horyzonty i ogromny obszar zainteresowań obejmujący nie tylko matematykę.
Matematyka rozwija się dzięki problemom, które wynikają z różnych źródeł. Niektóre, fundamentalne, pozostały z poprzednich pokoleń, inne wprowadziły nauki przyrodnicze i techniczne, jeszcze inne pojawiły się dzięki odkryciu głębokich powiązań między różnymi gałęziami matematyki. Geniusz Gaussa polegał na zaakceptowaniu wszelkich wyzwań, jeśli uznał je za interesujące.
Gauss wniósł znaczący wkład do wielu dziedzin nauki, a w tym do algebry, analizy, astronomii, geometrii różniczkowej, elektrostatyki, geodezji, geofizyki, teorii macierzy, mechaniki, teorii liczb, optyki, statystyki. Jego prace dotyczące arytmetyki modularnej wzbudziły zainteresowania matematyków tym, jak rozwiązywanie pewnych typów równań zależy od modułu i jak odnosi się to do grup Galois tych równań. I te zainteresowania doprowadziły do nagrodzenia Roberta Langlandsa nagrodą Abela w 2018 r. - jedną z najbardziej prestiżowych nagród w matematyce uznawaną za ekwiwalent matematyczny Nagrody Nobla - za pracę, która stała się znana jako program Langlandsa, który jest często określany jako "Wielka Teoria Unifikacji” dla matematyki".
Oto kilka innych prac Gaussa, które miały wpływ na rozwój nauki:
Nowa planeta.
1 stycznia 1801 r. włoski astronom Giuseppe Piazzi odkrył nową gwiazdę w konstelacji Byka. Przez kolejne dwie noce obiekt zmieniał swoją pozycję w dziwny sposób, a potem pogoda się pogarszała, i następnym razem Piazzi zauważył swoje znalezisko dopiero 23 stycznia. Wkrótce Piazzi zdecydował, że to wcale nie jest gwiazda, ale kometa: jej wielkość i blask były mniejsze niż za pierwszym razem. Potem znowu zmienił zdanie i uznał, że to jest planeta.
Wiosną Piazzi wysłał wyniki obserwacji do kolegów z Mediolanu, Paryża i Berlina i poprosił, by nazywać ją Ceres Ferdinandae, na cześć rzymskiej bogini płodności i króla Sycylii. Ceres tymczasem zniknęła w promieniach słońca i nikt nie wiedział, gdzie następnym razem się pojawi. Zostało to zidentyfikowane przez Gaussa który wynalazł nową metodę określania orbit ciał niebieskich. Metoda Gaussa różniła się od innych i zakładała jedynie, że orbita powinna być eliptyczna, a dla obliczenia pozycji ciała wystarczyło, aby były trzy obserwacje. Kiedy Gauss porównał dane obserwacyjne Piazziego z własnymi obliczeniami, dane prawie się zbiegły.
Kilka miesięcy później astronomowie z Obserwatorium Greenwich potwierdzili poprawność obliczeń Gaussa. Historia Ceres nie kończyła się na tym. Przez długi czas uważano, że jest to planeta między Marsem a Jowiszem, a następnie uznano ją za planetoidę, a ostatecznie w 2006 r. wprowadzono termin planeta karłowata i Ceres została zaliczona do tej grupy obiektów.
Spójność euklidesowej geometrii.
Gauss miał swoje zasługi w konstruowaniu nowej teorii geometrycznej. Ze szkoły każdy zna geometrię Euklidesa sformułowaną w III wieku p.n.e. i pamięta, że przez punkt na płaszczyźnie można narysować tylko jedną prostą równoległą do danej. Przez wiele lat podejmowano liczne próby dla udowodnienia postulatu Euklidesa o równoległych. Wszystkie te próby zakończyły się niepowodzeniem.
Próby te doprowadziły do powstania geometrii nieeuklidesowych, tj. geometrii, w których nie obowiązuje postulat Euklidesa o równoległych.
Janos Bolyai był utalentowanym młodym matematykiem, który także postanowił zrewidować piąty postulat Euklidesa. Jego ojciec, też matematyk, Farkash, zniechęcał go do zajmowania się tą tematyką, ale Janos był uparty i mimo to przedstawił swój wynik w 1832 r.. Starszy Bolyai wysłał pracę do oceny swojemu przyjacielowi Gaussowi w nadziei, że weźmie Janosa na ucznia. Gauss sięgnął do szuflady i wyciągnął bardzo podobne wyniki, uzyskane 30 lat wcześniej. I odpowiedź Gaussa nie była pochlebna. Słynny uczony stwierdził, że nie ma dla niego nic nowego w pracy Janosa i że sam wymyślił to wszystko już dawno temu, a nie opublikował swoich obliczeń, ponieważ nie chciał wywoływać dyskusji na temat problemu nierozwiązanego przez dwa tysiące lat. Niektórzy historycy uważają, że podobno obawiał się, że jego reputacja mogłaby ucierpieć, gdyby okazało się, że wierzy w istnienie geometrii nieeuklidesowych.
Mniej więcej w tym samym czasie, piątym postulatem Euklidesa zajmował się Mikołaj Łobaczewski. I przedstawił raport na Uniwersytecie w Kazaniu. Ale kiedy artykuł Łobaczewskiego został opublikowany w 1830 r. w czasopiśmie „Kazański wiestnik”, został wyszydzony przez ówczesny autorytet matematyczny, członka Akademii Nauk w Petersburgu, Nowym Jorku, Turynie i Paryżu, Michała Ostrogradskiego. Lecz praca Łobaczewskiego „O podstawach geometrii” zostało wysoko ocenione przez Gaussa. W 1842 na jego polecenie, Łobaczewski został wybrany członkiem korespondentem Królewskiego Towarzystwa Naukowego w Getyndze jako "jeden z najlepszych matematyków rosyjskiego imperium". Następnie "naukowa geometria" Łobaczewskiego, w której suma kątów trójkąta jest mniejsza niż 180 stopni, została uznana w świecie nauki.
Geometria z zakrzywionymi prostymi okazała się z teoretycznego punktu widzenia tak samo dobra jak geometria Euklidesa z piątym postulatem w swojej starożytnej formie. W tej geometrii przez punkt nie leżący na prostej można poprowadzić więcej niż jedną prostą do niej równoległą
To z kolei doprowadziło ucznia Gaussa, Bernarda Riemanna do skonstruowania geometrii, w której suma kątów trójkąta jest większa niż 180 stopni.
Za przełomowy moment w rozwoju koncepcji geometrii można uznać dzień 10 czerwca 1854 roku, kiedy to Riemann wystąpił z wykładem habilitacyjnym „O hipotezach, na których opiera się geometria”. Riemann wprowadził pojęcie przestrzeni jako tzw. rozmaitości różniczkowej o dowolnej liczbie wymiarów, jak też o zmiennej krzywiźnie, stwarzając jednocześnie nową ogólną dziedzinę wiedzy, którą zwiemy geometrią Riemanna. Jej bardzo szczególnymi przypadkami są zarówno geometria euklidesowa i geometrie nieeuklidesowe, w których krzywizna jest stała, a wymiar przestrzeni nie przekracza liczby trzy.
Okazało się, że zaprzeczenie postulatu Euklidesa o równoległych może przyjąć jedną z dwu postaci: istnieje wiele prostych równoległych do danej prostej przechodzącej przez punkt poza nią leżący lub nie istnieje żadna prosta równoległa do danej prostej przechodząca przez punkt poza nią leżący.
Z tego względu otrzymujemy dwa rodzaje geometrii nieeuklidesowej. Przyjęło się nazywać je, odpowiednio, geometrią eliptyczną i geometrią hiperboliczną. Geometria skonstruowana przez Łobaczewskiego i Bolyaia jest geometrią hiperboliczną, w której przestrzeń ma krzywiznę ujemną. Dopiero jakiś czas po odczycie Riemanna zrozumiano, że daje się skonstruować także geometria eliptyczna, w której przestrzeń ma krzywiznę dodatnią.
Później nowe geometrie okazały się potrzebne Albertowi Einsteinowi do zbudowania teorii względności i powiązanie ze sobą przestrzeni i materii.
Pomiar królestwa.
W 1818 Gauss był żywą legendą i, ku zaskoczeniu kolegów, podjął się wykonania pomiarów geodezyjnych niedawno utworzonego królestwa Hanoweru i sporządzenia jego szczegółowej mapy. To zadanie wydawało się bardzo trudne, ale nie dla Gaussa. Po pierwsze, wymagało odpowiednich urządzeń. I Gauss skonstruował heliotrop, mały teleskop z lusterkami, aby kierować wiązkę światła słonecznego na odległość i tym samym określić pozycję w przestrzeni. Heliotrop był używany w geodezji do czasu pojawienia się nawigacji satelitarnej.
Przeniesienie zakrzywionej powierzchni krajobrazu na płaską mapę nie jest tak łatwe. Gauss musiał opracować własną teorię powierzchni i opracować nowe metody obliczeniowe.
Einstein powiedział tak: "Jeśli Gauss nie stworzyłby geometrii powierzchni, którą Riemann uznał za podstawę, trudno jest sobie wyobrazić, że zrobiłby to ktoś inny. Wartość Gaussa dla współczesnej fizyki, a zwłaszcza matematycznych podstaw teorii względności jest naprawdę ogromna ".
Ta opinia Einsteina potwierdza tylko tytuł króla matematyki przypisany Gaussowi w roku 1856.
Królowa nauk?
Przyjął się też już dawno temu w świecie pogląd, że matematyka jest królową nauk.
Wielu jednak twierdzi, że matematyka nie jest królową nauk. Światem naprawdę rządzi fizyka. Przecież wymaganym atrybutem fizyki i każdego fizyka jest umiejętność biegłego posługiwania się matematyką. Czyli matematyka stanowi narzędzie fizyki i pełni rolę służebną wobec królowej, którą jest fizyka.
Ba! Niektórzy nawet uważają, że matematyka jest łatwą i tanią, wymagającą niewielkich nakładów finansowych częścią fizyki. Przecież matematyka, w odróżnieniu od fizyki i wszystkich pozostałych nauk zajmuje się nie otaczającym nas, a tylko swoim wewnętrznym światem.
Pewni fizycy teoretyczni maja nadzieję, że kiedyś matematyka okaże się narzędziem, które pozwoli opisać źródło wszechświata, czyli ukaże się nam jako potężna matematyczna struktura – pratworzywo matematyczne, z którego wynikać będzie wszystko, łącznie z czasem i przestrzenią, a jednocześnie alfabet, przy pomocy którego opisywać będzie można wszechświat w skali makro i w skali mikro. Będzie to, być może coś więcej niż Teoria Wszystkiego – TOE. Jednak jak wynika z historii Teorii Strun, są to raczej pobożne życzenia niż nadzieje...
No i na koniec pozostaje pytanie:
Wiemy jak Gauss został królem matematyki.
- A jak to się stało, że Gauss został matematykiem?
Pragnę podkreślić, że odpowiedź na to pytanie dla rasowych matematyków jest elementarnie prosta i oczywista. I obejmuje także ich.
Podpowiem, ze odpowiedź zawiera zaledwie trzy słowa.
Appendix.
W matematyce najważniejszy jest wynik związany z rozwiązywaniem problemu matematycznego. A wynik może być dobry, albo zły.
W pierwszej połowie ubiegłego wieku do Moskwy przybył wybitny francuski matematyk Jacques Salomon Hadamard. Po wykładzie na uniwersytecie, pewien dyskutant zadał mu pytanie: "Powiedz mi, jak w matematyce odróżnić dobry wynik od złego wyniku?"
W odpowiedzi Hadamard opowiedział przypowieść.
„Pewien sułtan miał eunucha, którego obowiązkiem było przyprowadzanie sułtanowi dziewcząt. Sułtanowi wybranki eunucha nie podobały się i zagroził, że go zgładzi, jeśli się nie poprawi. Eunuch poszedł na targ, zobaczył bezdomnego i poskarżył mu się. Bezdomny odparł, że bardzo łatwo można dokonać dobrego wyboru i pomógł eunuchowi wybrać dziewczynę. Sułtan był z niej bardzo zadowolony. Bezdomny pomógł po raz drugi, a potem trzeci z tym samym efektem. W końcu zakłopotany eunuch postanowił zapytać bezdomnego, dlaczego ma taki dobry wybór, a jego własny wybór dziewczyn był zły. Odpowiedź była bardzo prosta: "Musimy mieć odpowiednie ciało" - powiedział bezdomny”.
