Być albo nie być? Oto jest pytanie. I jakże trudno odpowiedzieć na nie. Problem istnienia pojawił się w poprzedniej notce w kontekście algebra Clifforda. Algebra Clifforda C(V) , dla danej przestrzeni wektorowej V wyposażonej w symetryczną formę bibliniową B, jeśli sitnieje, to jest jedyna. Dowód jedyności przedstawiłem w poprzedniej notce. Jest wręcz banalnie prosty, czysta logika. Ale co nam po dowodzie jedyności, jeśli obiekt, którego własności (w naszym przypadku: jedyność) dowodzimy, nie istnieje? By mieć jakieś określone własności, by móc ich dla dobra innych używać, trzeba istnieć.
Więc jak to jest z tym istnieniem algebr Clifforda? Być im czy nie być? By udowodnić istnienie algebry Clifforda najlepiej podać receptę jak taką skonstruować! Taka recepta istnieje. Jest więc powód by żyć.
Konstruuje się algebrę Clifforda dzieląc algebrę tensorową przestrzeni V przez obustronny ideał generowany przez elementy T(V) postaci
u⊗v+v⊗u – 2B(u,v)1
Wystarczy tylko wiedzieć co to jest T(V) i jak się generuje ideał dwustronny algebra zawierający dany zbiór jej elementów. No i jeszcze trzeba wiedzieć jak się dzieli algebrę przez jakiś jej dwustronny ideał – w rezultacie otrzymujemy z algebry inną algebrę, zwykle „mniejszą”.
Więc co to jest ta algebra tensorowa T(V) przestrzeni wektorowej V? Odpowiedź jest tak samo prosta i piękna jak odpowiedź na pytanie „co to jest algebra Clifford?”.
Algebra tensorowa T(V) przestrzeni wektorowej V jest jednoznacznie zdefiniowana przez następującą własność uniwersalności:
Definicja: Niech V będzie przestrzenią wektorową. Algebrą tensorową przestrzeni V nazywamy parę (A,i), gdzie A jest łączną algebrą z jednością, zaś i jest odwzorowaniem liniowym z V w A o następującej własności (uniwerslności):
Dla każdej pary (B,T), gdzie B jest łączną algebrą z jednością, zaś T jest odwzorowaniem liniowym z V w B istnieje jedyny homomorfizm algebr (z jednością) φ z A w B taki, że, T = φ ∘ i
Uwaga: Nie należy mylić symbolu B tutaj z symbolem B formy biliniowe na początku notki.
Łatwo wtedy wykazać (tak samo jak to było dla algebr Clifforda), że algebra tensorowa, jeśli istnieje, to jest jedyna (z dokładnością do izomorfizmu).
I tak sprowadziliśmy problem istnienia algebr Clifforda do problemu istnienia algebry tensorowej.
Jedno istnienie zależy od drugiego istnienia. Tak bywa. Nie tylko w matematyce.
