W poprzedniej notce porzuciliśmy to co znane i wyruszyliśmy w nieznane – w krainę przestrzeni liniowych, gdzie nowe jest niemal wszystko (póki co interesują nas jedynie przestrzenie liniowe w których skalarami są liczby rzeczywiste). Daleko jednak w tej nieznanej krainie nie zajdziemy nie nauczywszy się jak zakładać tam bazę.
Oto odpowiedni motywujący fragment z książki A. i Cz. Centkiewiczów „Kierunek Antarktyda”
… my znamy Antarktydę, wiemy, jakie ludziom potrafi zgotować niespodzianki. Startu znów nie miałem łatwego! Zerwał się wiatr i cały świat zawirował w śnieżnej kurzawie. Trzy kilometry ślizgałem się na pełnym gazie, nim zdołałem maszynę oderwać od rozmiękłego śniegu. Z opowiadań obu Belgów, których zabrałem ze sobą, wynikało, że próbowali, już iść na ratunek zaginionym. Wyruszyli z bazy terenowej na lekkich pojazdach mechanicznych, ale jeden wóz utknął w jakiejś szczelinie. Szczeliny zatrzymały również psie zaprzęgi. Śmigłowiec stojący w terenowej bazie był bezużyteczny, bo jedynym jego pilotem był zaginiony de Gerlache....”
Musimy posiąść wiedzę o bazach w ogólnej przestrzeni liniowej, tej zdefiniowanej ośmiu aksjomatami w poprzedniej notce (z dyskusji pod notką wynika, że aksjomaty te nie są niezależne i ich liczbę można zmniejszyć, nawet do sześciu, jednak nie jest to w żaden sposób dla nas tu istotne). Aksjomaty są tak dobrane, że w działaniach z wektorami zachodzą wszystkie znane własności z równań. Możemy podobne wyrazy grupować, wyciagać skalary przed nawias, przenosić wektory na drugą stronę równania z przeciwnym znakiem, dzilić obie strony równania przez ten sam rózny od zera skalar itp.
Ale co to jest wektor? To element przestrzeni liniowej (wektorowej). Niech zatem V będzie przestrzenią liniową, tak jak została ona zdefiniowana w poprzedniej notce. Jeszcze nie wiemy czy takowa istnieje, tzn. czy możemy jakieś przykłady przestrzeni liniowychj skonstruować zakładając istnienie czegoś takiego jak „liczby rzeczywiste”.Co możemy zrobić z jednym wektorem a? Niewiele. Możemy go pomnożyć przez jakiś skalar alpha(przeskalować) i, jeśli nasz skalar jest różny od 1) otrzymać inny wektor α a. Chyba, że jest to wektor zerowy, wtedy żadne mnożenie przez skalar nie pomoże, poza wektor zerowy mnożeniem przez skalar nie wyjdziemy α 0 = dla każdego α.
A co możemy zrobić z parą wektorów a i b? Możemy każdy z nich pomnożyć przez jakiś skalar i tak otrzymane dwa wektory zlożyć, tzn. dodać do siebie, otrzymując wektor c
c = α a + β b
Tak otrzymany wektor c nazywamy kombinacją liniową wektorów a i b.
Definicje. Wektory a i b nazywamy liniowo zależnymi jeśli istnieją współczynniki α, β, nie wszystkie równe zeru, takie, że α a + β b = 0. W przeciwnym razie wektory nazywamy liniowo niezależnymi. Jeśli w przestrzeni V istnieją dwa wektory a,b, liniowo niezależne, takie, że każdy inny wektor c tej przestrzeni jest ich liniową kombinacją, wtedy tę parę wektorów nazywamy bazą przestrzeni V.
No to mamy definicje. Z definicji tych możemy wysnuwać różne wnioski, choć wciąż jeszcze nie wiemy, czy przestrzenie liniowe i stnieją i czy istnieją w nich wektory liniowo niezależne i bazy.
Zaglądając do wspomnianych wyżej wykładów prof. Andruszkiewicza łatwo zauważamy, że powyższe definicje są niepotrzebnie okrojone do dwóch wektorów. Tak samo możemy przecież zdefiniować liniową zależność i niezależność dowolnej skończonej liczby wektorów:
Definicje: Układ n wektorów a1,....,an przestrzeni wektorowej nazywamy liniowo zależnym jeśli istnieją współczynniki α1,..., αn, nie wszystkie równe zaru, takie, że α1 x1+...αn xn =0. W przeciwnym razie układ ten nazywamy liniowo niezależnym. Jeśli w przestrzeni V istnieje układ n wektorów liniowo niezależnych i takich, że każdy inny wektor c tej przestrzeni jest ich liniową kombinacją, wtedy ten układ wektorów nazywamy bazą przestrzeni V. O przestrzeni V posiadającej bazę złożoną z n wektorów mówimy, że jest przestrzenią n-wymiarową.
I znów, zaglądając do wykładów prof. Andruszkiewicza zobaczymy, że nasza nowa definicja też jest niepotrzebnie okrojona do skończonych układów wektorów.
Definicje: Mówimy, że podzbiór X przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny jeśli każdy skończony podzbiór zbioru X jest liniowo niezależny. Liniowo niezależny podzbiór X nazywamy bazą przestrzeni V, jeśli każdy wektor c tej przestrzeni jest skończoną kombinacją liniową c= α1 x1+...αn xn wektorów x1,...,xn z X, dla pewnego n. Gdy V posiada bazę, która nie składa się ze skończonej liczby wektorów, wtedy mówimy, że przestrzeń V jest nieskończenie wymiarowa.
Oczywiście wszystkie te nasze definicje wiszą w powietrzu, bo nie znamy jeszcze żadnych przykładów, no i nie znamy tez ważnych wniosków z definicji. Przykłady i wnioski można znależć w wykładach prof. Andruszkiewicza: Określenie przestrzeni liniowej, Podprzestrzenie przestrzeni liniowych.
A my pójdziemy dalej jednak swoją drogą, idąc w kierunku pokazywanym na drogowskazie „TELEPARALELIZM”.
Na początek proste zadanie. Niech Z2 będzie zbiorem złożonym z dwóch punktów, nazwiemy je 1 i 2:
Z2 ={1,2}
Nie V będzie zbiorem wszystkich funkcji na zbiorze Z2 o wartościach rzeczywistych
V={f: f: Z2 →R}
W zbiorze V definiujemy dodawanie i mnożenie przez skalar. Dla f,g z V i α z R definiujemy f+g i αf jak następuje
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
(α f)(x) = α f(x)
gdzie x należy do Z2.
Zadanie: Udowodnić, że V z tak określonymi działaniami jest przestrzenią liniową. Udowodnić, że jest to przestrzeń dwu-wymiarowa. Inaczej: znaleźć w V dwa pingwiny liniowo niezależne i pokazać, że każdy inny pingwin jest liniową kombinacja tych dwóch.
