Układ otwarty
Ucz się tak, jakbyś miał żyć wiecznie, żyj tak jakbyś miał umrzeć jutro" Życie jest religią.
185 obserwujących
1433 notki
3411k odsłon
340 odsłon

Spacerkiem przez pola wektorowe

Wykop Skomentuj21

Pola wektorowe są niezwykle proste i niezwykle piękne. Jednak w takim polu, w labiryncie ścieżek, gdy wektory wokół nas gęste i wysokie, bez przewodnika łatwo się zgubić,  

image

https://mamineskarby.pl/labirynt-w-polu-kukurydzy-w-swarzewie/

W poprzedniej notce zapoznaliśmy się z definicją wektora stycznego w danym punkcie. Przypomnę krótko fabułę.

M jest dowolnym zbiorem (w przyszłości będzie to czasoprzestrzeń, tak cztero lub więcej wymiarowa, lub jakiś otwarty obszar w tej czasoprzestrzeni). F jest jakąś algebrą funkcji na M o wartościach rzeczywistych. W przyszłości będzie to algebra wszystkich funkcji gładkich. Zdefiniowaliśmy wektor styczny do M w punkcie p jako liniowe odwzorowanie X: F → R o własności

X(fg) = X(f) g(p) + f(p) X(g)

dla dowolnych funkcji f,g z algebry F.

Zbiór wszystkich wektorów stycznych w danym punkcie tworzy przestrzeń liniową – taki był wniosek z Zadania 1 z poprzedniej notki. Nazywamy ją przestrzenią styczną do M w punkcie p.

Taki jeden wektor styczny w jednym punkcie to jak jeden kłos kukurydzy – wielkiego pożytku z niego nie ma. Kolbę kukurydzy można ugotować i zjeść – to wszystko. Jednak pożytek i piękno pojawiają się dopiero gdy mamy całe pole kukurydziane w którym możemy się chować. Podobnie z wektorami i polami wektorowymi. Zdefiniujemy teraz pole wektorowe na M, i zrobimy to bardzo ogólnie – bo tak jest pięknie. Detalami zajmiemy się w przyszłych notkach. Jeśli ktoś chce najpierw ucieszyć własne oczy i zobaczyć pola wektorowe na rysunkowym przykładzie – zapraszam do odwiedzenia mojej notki „Ech, to pole!” 

Definicja:

Polem wektorowym na M nazywamy liniowe odwzorowanie X:F → F o własności

X(fg) = X(f) g + f X(g)

dla dowolnych funkcji f,g z algebry F.

Definicja jest podobna do tej dla wektora stycznego, jednak teraz nie ma odniesienia do punktów. Po lewej stronie mamy X(fg) – to funkcja. Po prawej mamy X(f), X(g) to funkcje, zatem X(f)g i fX(g) to funkcje. Definicja ma sens.

Wybierzmy teraz i ustalmy jakiś punkt p w M. Zdefiniujmy odwzorowania Xp:F → R jako

Xp(f) = X(f)(p)

Wtedy nietrudno się przekonać, że Xp jest wektorem stycznym do M w punkcie p. Licealiści powinni być w stanie to zadanie zrobić, chyba, że akurat zajęci są zbieraniem punktów za rozwiązywanie trudnych problemów w klasie. Będą się wtedy usprawiedliwiać, że nie mają czasu, albo będą prosić swoją „Panią”, by im wytłumaczyła o co chodzi i za nich to zadanie rozwiązała. Jednak każdy inny ambitny Czytelnik powinien to zadanie rozwiązać „od ręki”. Zatem pole wektorowe zadaje wektor styczny w każdym punkcie – jak być powinno.

Co z polami wektorowymi możemy robić? Jeśli X jest polem wektorowym , możemy nim podziałać na funkcję i otrzymać nową funkcję X(f). Nazywamy ją „pochodną funkcji f wzdłuż pola X”. Pola wektorowe możemy dodawać X+Y, możemy mnożyć przez funkcję, definiując fX jako

((fX)(g))(p) = f(p)(X(g))(p)

Licealista powinien być w stanie zrozumieć o co w tej definicji powyżej idzie? Czemu tyle nawiasów? Co one znaczą. Jeśli nie zrozumie – z algebrą i nie tylko z algebrą, w ogóle z matematyką – słabo!  

Tą ostatnia własność powoduje, że mówimy czasem, że pola wektorowe stanowią moduł nad algebrą F.

Jednak to nie wszystko. Pola wektorowe tworzą „algebrę Liego”! Ten fakt stanowi o głębokiej głębi pojęcia pola wektorowego i brzmi niemal jak finał 9-tej symfonii Ludwika van Beethovena


Ten finał tworzymy jak następuje:

Przypuśćmy, że X i Y są polami wektorowymi. Zatem mamy

X(fg) = X(f) g + f X(g)

Y(fg) = Y(f) g + f Y(g)

Definiujemy odwzorowanie Z: F → F formułą

Z(f) = X(Y(f)) – Y(X(f))

Zadanie 9

Udowodnić że tak zdefiniowane Z jest polem wektorowym.

Pole to nazywamy komutatorem pól X i Y, i oznaczamy symbolem [X,Y]

(nie mylić z tym A  znanym z lekcji o elektryczności)

image  

P.S. Zadanie dla ambitnych:

Stwierdzilismy w notce, że każde pole wektorowe X zadaje wekt or styczny Xp w każdym punkcie p. Możemy argumentować, że i na odwrót, zadając dla każdego p wektor styczny Xp definiujemy tym samy pole wektowowe X. A mianowicie: definiujemy  wartość pola X na funkcji p formuła:

(Xf)(p) = Xp(f)


Z faktu, że każde Xp spełnia Xp(fg) = Xp(f) g(p) + f(p) Xp(g)  wynika wtedy, że X spełnia

X(fg) = X(f) g +  X(g). cbdo.

A jednak rozumowanie powyższe nie wystacza by pokazać, że tak skonstruowane X jest polem wektorowym. Licealisto, pomyśl, dlaczego???

Wykop Skomentuj21
Ciekawi nas Twoje zdanie! Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Salon24 news

Co o tym sądzisz?

Inne tematy w dziale Technologie