Pola wektorowe są niezwykle proste i niezwykle piękne. Jednak w takim polu, w labiryncie ścieżek, gdy wektory wokół nas gęste i wysokie, bez przewodnika łatwo się zgubić,
https://mamineskarby.pl/labirynt-w-polu-kukurydzy-w-swarzewie/
W poprzedniej notce zapoznaliśmy się z definicją wektora stycznego w danym punkcie. Przypomnę krótko fabułę.
M jest dowolnym zbiorem (w przyszłości będzie to czasoprzestrzeń, tak cztero lub więcej wymiarowa, lub jakiś otwarty obszar w tej czasoprzestrzeni). F jest jakąś algebrą funkcji na M o wartościach rzeczywistych. W przyszłości będzie to algebra wszystkich funkcji gładkich. Zdefiniowaliśmy wektor styczny do M w punkcie p jako liniowe odwzorowanie X: F → R o własności
X(fg) = X(f) g(p) + f(p) X(g)
dla dowolnych funkcji f,g z algebry F.
Zbiór wszystkich wektorów stycznych w danym punkcie tworzy przestrzeń liniową – taki był wniosek z Zadania 1 z poprzedniej notki. Nazywamy ją przestrzenią styczną do M w punkcie p.
Taki jeden wektor styczny w jednym punkcie to jak jeden kłos kukurydzy – wielkiego pożytku z niego nie ma. Kolbę kukurydzy można ugotować i zjeść – to wszystko. Jednak pożytek i piękno pojawiają się dopiero gdy mamy całe pole kukurydziane w którym możemy się chować. Podobnie z wektorami i polami wektorowymi. Zdefiniujemy teraz pole wektorowe na M, i zrobimy to bardzo ogólnie – bo tak jest pięknie. Detalami zajmiemy się w przyszłych notkach. Jeśli ktoś chce najpierw ucieszyć własne oczy i zobaczyć pola wektorowe na rysunkowym przykładzie – zapraszam do odwiedzenia mojej notki „Ech, to pole!”
Definicja:
Polem wektorowym na M nazywamy liniowe odwzorowanie X:F → F o własności
X(fg) = X(f) g + f X(g)
dla dowolnych funkcji f,g z algebry F.
Definicja jest podobna do tej dla wektora stycznego, jednak teraz nie ma odniesienia do punktów. Po lewej stronie mamy X(fg) – to funkcja. Po prawej mamy X(f), X(g) to funkcje, zatem X(f)g i fX(g) to funkcje. Definicja ma sens.
Wybierzmy teraz i ustalmy jakiś punkt p w M. Zdefiniujmy odwzorowania Xp:F → R jako
Xp(f) = X(f)(p)
Wtedy nietrudno się przekonać, że Xp jest wektorem stycznym do M w punkcie p. Licealiści powinni być w stanie to zadanie zrobić, chyba, że akurat zajęci są zbieraniem punktów za rozwiązywanie trudnych problemów w klasie. Będą się wtedy usprawiedliwiać, że nie mają czasu, albo będą prosić swoją „Panią”, by im wytłumaczyła o co chodzi i za nich to zadanie rozwiązała. Jednak każdy inny ambitny Czytelnik powinien to zadanie rozwiązać „od ręki”. Zatem pole wektorowe zadaje wektor styczny w każdym punkcie – jak być powinno.
Co z polami wektorowymi możemy robić? Jeśli X jest polem wektorowym , możemy nim podziałać na funkcję i otrzymać nową funkcję X(f). Nazywamy ją „pochodną funkcji f wzdłuż pola X”. Pola wektorowe możemy dodawać X+Y, możemy mnożyć przez funkcję, definiując fX jako
((fX)(g))(p) = f(p)(X(g))(p)
Licealista powinien być w stanie zrozumieć o co w tej definicji powyżej idzie? Czemu tyle nawiasów? Co one znaczą. Jeśli nie zrozumie – z algebrą i nie tylko z algebrą, w ogóle z matematyką – słabo!
Tą ostatnia własność powoduje, że mówimy czasem, że pola wektorowe stanowią moduł nad algebrą F.
Jednak to nie wszystko. Pola wektorowe tworzą „algebrę Liego”! Ten fakt stanowi o głębokiej głębi pojęcia pola wektorowego i brzmi niemal jak finał 9-tej symfonii Ludwika van Beethovena
Ten finał tworzymy jak następuje:
Przypuśćmy, że X i Y są polami wektorowymi. Zatem mamy
X(fg) = X(f) g + f X(g)
Y(fg) = Y(f) g + f Y(g)
Definiujemy odwzorowanie Z: F → F formułą
Z(f) = X(Y(f)) – Y(X(f))
Zadanie 9
Udowodnić że tak zdefiniowane Z jest polem wektorowym.
Pole to nazywamy komutatorem pól X i Y, i oznaczamy symbolem [X,Y]
(nie mylić z tym A znanym z lekcji o elektryczności)
P.S. Zadanie dla ambitnych:
Stwierdzilismy w notce, że każde pole wektorowe X zadaje wekt or styczny Xp w każdym punkcie p. Możemy argumentować, że i na odwrót, zadając dla każdego p wektor styczny Xp definiujemy tym samy pole wektowowe X. A mianowicie: definiujemy wartość pola X na funkcji p formuła:
(Xf)(p) = Xp(f)
Z faktu, że każde Xp spełnia Xp(fg) = Xp(f) g(p) + f(p) Xp(g) wynika wtedy, że X spełnia
X(fg) = X(f) g + X(g). cbdo.
A jednak rozumowanie powyższe nie wystacza by pokazać, że tak skonstruowane X jest polem wektorowym. Licealisto, pomyśl, dlaczego???
Komentarze