Układ otwarty
Ucz się tak, jakbyś miał żyć wiecznie, żyj tak jakbyś miał umrzeć jutro" Życie jest religią.
185 obserwujących
1418 notek
3393k odsłony
534 odsłony

Pochodne kierunkowe - to jest to

Wykop Skomentuj37

Kiedy ostatnia fala przyboju cofa się w głąb morza, na wysychającej, gładkiej powierzchni piasku pojawiają się kuliste pęknięcia. Odsłaniają okrągły otwór i parę spozierających z wnętrza ciekawskich oczu.

Gdy otoczenie zostanie zbadane, spod ziemi wyłania się właściciel norki, krab z rodziny Ocypodidae. Niezwłocznie po wyjściu skorupiak zabiera się do czyszczenia tunelu z zalegającego w nim piasku. Ziarenka formuje w kulkę, którą szczypcami wypycha poza wejście, czasem na odległość kilkudziesięciu centymetrów. Czynność powtarza do momentu, kiedy dokopie się do lustra wody. Dopiero wtedy doprowadza się do porządku i zabiera za szukanie pożywienia. Choć trudno tu mówić o prawdziwym szukaniu – kraby zachowują się raczej jak rozbitkowie wyrzuceni na bezludną wyspę. Na szczęście ocean jest miłosierny i regularnie dostarcza im pokarm.


Więcej z życia krabów możemy się dowiedzieć z artykułu w National Geographic


Dla nas ważne jest, że kraby są ciekawskie  i pracowite, Zachowują się jak rozbitkowie wyrzuceni na bezludną wyspę. I tak jest teraz z nami i ze mną. Chcemy dokopać się do lustra wody – tym lustrem jest teleparalelizm, jednak póki co czyścimy pracowicie tunel – oswajamy się z pojęciem wektora stycznego jako różniczkowania algebry gładkich funkcji. I tak będzie dzisiaj- ulepimy jeszcze jedną kulkę wypchniemy poza wejście, by nie zawadzała. Nie będziemy się przy tym zbytnio ceregielić by kulka była zgrabna i okrągła. Ważne są nie tyle same kulki, ile myśl włożona w ich układanie!


image
Toteż to i owo w dzisiejszej notce będzie po krabowemu, piękne, eleganckie, ale bez dowodu. Przypomnę fabułę z notki Spacerkiem przez pola wektorowe:

Zdefiniowaliśmy wektor styczny do rozmaitości M w punkcie p jako liniowe odwzorowanie X: F → R o własności, nazwiemy ją (*)
X(fg) = X(f) g(p) + f(p) X(g) ,   (*)
dla dowolnych funkcji f,g z algebry F.


Nasze rozważania tutaj są uproszczone, nie interesują nas problemy globalne tego świata, interesują nas jedynie problemy lokalne, powiedzmy naszej gminy. Dlatego za M bierzemy jakiś zbiór otwarty w  Rn. By nie był bezimienny, dajmy mu imię U. Licealista przypomina sobie co to jest zbiór otwarty. To taki, że wraz z każdym jego punktem zawiera pewne jego otoczenie, powiedzmy małą n-wymiarową kulkę o niezerowym promieniu. Zbiór ten wyposażony jest w mapę, siatkę współrzędnych x1,....,xn. Zajmujemy się tu „rozmaitościami”, dlatego nie wypada się przywiązywać do jakiejś konkretnej siatki współrzędnych , byłoby to źle widziane wśród rozmaitościowców. W tym towarzystwie ogólnie przyjęte jest rozważanie nie jednej mapy, a całego „atlasu” map, przy czym przejście od jednej mapy z atlasu do innej, na obszarze  wspólnym, jest wzajemnie jednoznaczne i wzajemnie gładkie. Ekstremiści operują przy tym „atlasem maksymalnym”, tzn. takim do którego już żadnej nowej mapy dodać nie można. My, póki co, będziemy minimalistami i zadowolimy się, póki można, jedną mapą.
Nasza algebra F To algebra wszystkich funkcji gładkich (różniczkowalnych dowolną ilość razy) na U, zwykle oznaczamy tę algebrę symbolem C(U) – C nieskończoność od U.
W poprzedniej notce pokazaliśmy, że pochodne cząstkowe Xi = ∂ /∂ xi są polami wektorowymi na M=U, zaś pochodne w punkcie p są wektorami stycznymi w tym punkcie, zatem spełniają warunek (*). Celem niniejszej krabowatej notki jest wykazanie, że każdy wektor styczny w punkcie p jest kombinacja liniową wektorów X - zatem: pochodną kierunkową. Nie ma innych wektorów stycznych. Przy tym jedyna definicja wektora stycznego w punkcie p to liniowość odwzorowania f -> X(f), i warunek (*), który ma zachodzić dla wszystkich funkcji z C(U) .

Zacznijmy po krabowemu, nie śpiesząc się. Pokażemy najpierw, że jeśli X spełnia (*) , to X(f)=0 dla każdej funkcji stałej. Tak bowiem być powinno, jeśli X ma być pochodną kierunkową. Przypuśćmy zatem, że f jest stała i równa tożsamościowo 1 na U.  Wtedy f f = f,  i z (*) otrzymujemy
X(f)=X(f f)=X(f)1+1X(f)=2 X(f)
skąd X(f) = 0,  co było do okazania.


Licealista wywnioskuje stąd, że X(f)=0 także dla dowolnej funkcji f, która jest stała i niekoniecznie równa jedności.


Teraz już dostańmy się do lustra wody. Potrzebna będzie nam pewna własność funkcji gładkich dowodzona zwykle w zaawansowanych kursach analizy. Nie będę jej dowodził, bo jestem tylko krabem. Po prostu ją przytoczę tak jak jest sformułowana w poniższym podręczniku.

image

Str 82:

image

Oto ta własność (uwaga: stosujemy konwencję Einsteina: sumowanie po powtarzającym się wskaźniku) :


W tłumaczeniu na nasze: jeśli f jest funkcją z C (U) , zaś p jest punktem w U o współrzędnych
x0 = (x01,...x0n), to istnieją takie funkcje fij, gładkie na U, i takie, że


f(x) = f(x0)   +   (∂f /∂ xi)(x0)(xi-x0i) +fij(x)(xi-x0i)(xj-x0j)


Stosując teraz (*) licealista, który czyta i myśli, i nie traci czasu na grę w szachy, powinien wywnioskować, że

X(f) = ai  (∂f /∂ xi)(x0)


gdzie ai= X(xi) .


Zatem przestrzeń styczna do M w punkcie p jest n-wymiarowa, zaś pochodne cząstkowe (jest ich n) stanowią bazę w tej przestrzeni. Każdy wektor styczny jest kombinacją liniową pochodnych cząstkowych (w tym punkcie) – inaczej: pochodną kierunkową.


Bloger Tichy będzie zapewne narzekał na tę krabią robotę. Ale co robić?

P.S. W wyniku dyskusji pod notką dotyczącą pojęcia pochodnej kierunkowej, poniżej przytaczam definicję z Analizy, Tom 1,  str. 149 Krzysztofa Maurina. Polska Wikipedia się na tę monografię powołuje, ale z niej nie korzysta!

image

....

image

Wykop Skomentuj37
Ciekawi nas Twoje zdanie! Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Salon24 news

Co o tym sądzisz?

Inne tematy w dziale Technologie