Kiedy ostatnia fala przyboju cofa się w głąb morza, na wysychającej, gładkiej powierzchni piasku pojawiają się kuliste pęknięcia. Odsłaniają okrągły otwór i parę spozierających z wnętrza ciekawskich oczu.
Gdy otoczenie zostanie zbadane, spod ziemi wyłania się właściciel norki, krab z rodziny Ocypodidae. Niezwłocznie po wyjściu skorupiak zabiera się do czyszczenia tunelu z zalegającego w nim piasku. Ziarenka formuje w kulkę, którą szczypcami wypycha poza wejście, czasem na odległość kilkudziesięciu centymetrów. Czynność powtarza do momentu, kiedy dokopie się do lustra wody. Dopiero wtedy doprowadza się do porządku i zabiera za szukanie pożywienia. Choć trudno tu mówić o prawdziwym szukaniu – kraby zachowują się raczej jak rozbitkowie wyrzuceni na bezludną wyspę. Na szczęście ocean jest miłosierny i regularnie dostarcza im pokarm.
Więcej z życia krabów możemy się dowiedzieć z artykułu w National Geographic
Dla nas ważne jest, że kraby są ciekawskie i pracowite, Zachowują się jak rozbitkowie wyrzuceni na bezludną wyspę. I tak jest teraz z nami i ze mną. Chcemy dokopać się do lustra wody – tym lustrem jest teleparalelizm, jednak póki co czyścimy pracowicie tunel – oswajamy się z pojęciem wektora stycznego jako różniczkowania algebry gładkich funkcji. I tak będzie dzisiaj- ulepimy jeszcze jedną kulkę wypchniemy poza wejście, by nie zawadzała. Nie będziemy się przy tym zbytnio ceregielić by kulka była zgrabna i okrągła. Ważne są nie tyle same kulki, ile myśl włożona w ich układanie!
Toteż to i owo w dzisiejszej notce będzie po krabowemu, piękne, eleganckie, ale bez dowodu. Przypomnę fabułę z notki Spacerkiem przez pola wektorowe:
Zdefiniowaliśmy wektor styczny do rozmaitości M w punkcie p jako liniowe odwzorowanie X: F → R o własności, nazwiemy ją (*)
X(fg) = X(f) g(p) + f(p) X(g) , (*)
dla dowolnych funkcji f,g z algebry F.
Nasze rozważania tutaj są uproszczone, nie interesują nas problemy globalne tego świata, interesują nas jedynie problemy lokalne, powiedzmy naszej gminy. Dlatego za M bierzemy jakiś zbiór otwarty w Rn. By nie był bezimienny, dajmy mu imię U. Licealista przypomina sobie co to jest zbiór otwarty. To taki, że wraz z każdym jego punktem zawiera pewne jego otoczenie, powiedzmy małą n-wymiarową kulkę o niezerowym promieniu. Zbiór ten wyposażony jest w mapę, siatkę współrzędnych x1,....,xn. Zajmujemy się tu „rozmaitościami”, dlatego nie wypada się przywiązywać do jakiejś konkretnej siatki współrzędnych , byłoby to źle widziane wśród rozmaitościowców. W tym towarzystwie ogólnie przyjęte jest rozważanie nie jednej mapy, a całego „atlasu” map, przy czym przejście od jednej mapy z atlasu do innej, na obszarze wspólnym, jest wzajemnie jednoznaczne i wzajemnie gładkie. Ekstremiści operują przy tym „atlasem maksymalnym”, tzn. takim do którego już żadnej nowej mapy dodać nie można. My, póki co, będziemy minimalistami i zadowolimy się, póki można, jedną mapą.
Nasza algebra F To algebra wszystkich funkcji gładkich (różniczkowalnych dowolną ilość razy) na U, zwykle oznaczamy tę algebrę symbolem C∞(U) – C nieskończoność od U.
W poprzedniej notce pokazaliśmy, że pochodne cząstkowe Xi = ∂ /∂ xi są polami wektorowymi na M=U, zaś pochodne w punkcie p są wektorami stycznymi w tym punkcie, zatem spełniają warunek (*). Celem niniejszej krabowatej notki jest wykazanie, że każdy wektor styczny w punkcie p jest kombinacja liniową wektorów Xi - zatem: pochodną kierunkową. Nie ma innych wektorów stycznych. Przy tym jedyna definicja wektora stycznego w punkcie p to liniowość odwzorowania f -> X(f), i warunek (*), który ma zachodzić dla wszystkich funkcji z C∞ (U) .
Zacznijmy po krabowemu, nie śpiesząc się. Pokażemy najpierw, że jeśli X spełnia (*) , to X(f)=0 dla każdej funkcji stałej. Tak bowiem być powinno, jeśli X ma być pochodną kierunkową. Przypuśćmy zatem, że f jest stała i równa tożsamościowo 1 na U. Wtedy f f = f, i z (*) otrzymujemy
X(f)=X(f f)=X(f)1+1X(f)=2 X(f)
skąd X(f) = 0, co było do okazania.
Licealista wywnioskuje stąd, że X(f)=0 także dla dowolnej funkcji f, która jest stała i niekoniecznie równa jedności.
Teraz już dostańmy się do lustra wody. Potrzebna będzie nam pewna własność funkcji gładkich dowodzona zwykle w zaawansowanych kursach analizy. Nie będę jej dowodził, bo jestem tylko krabem. Po prostu ją przytoczę tak jak jest sformułowana w poniższym podręczniku.
Str 82:
Oto ta własność (uwaga: stosujemy konwencję Einsteina: sumowanie po powtarzającym się wskaźniku) :
W tłumaczeniu na nasze: jeśli f jest funkcją z C∞ (U) , zaś p jest punktem w U o współrzędnych
x0 = (x01,...x0n), to istnieją takie funkcje fij, gładkie na U, i takie, że
f(x) = f(x0) + (∂f /∂ xi)(x0)(xi-x0i) +fij(x)(xi-x0i)(xj-x0j)
Stosując teraz (*) licealista, który czyta i myśli, i nie traci czasu na grę w szachy, powinien wywnioskować, że
X(f) = ai (∂f /∂ xi)(x0)
gdzie ai= X(xi) .
Zatem przestrzeń styczna do M w punkcie p jest n-wymiarowa, zaś pochodne cząstkowe (jest ich n) stanowią bazę w tej przestrzeni. Każdy wektor styczny jest kombinacją liniową pochodnych cząstkowych (w tym punkcie) – inaczej: pochodną kierunkową.
Bloger Tichy będzie zapewne narzekał na tę krabią robotę. Ale co robić?
P.S. W wyniku dyskusji pod notką dotyczącą pojęcia pochodnej kierunkowej, poniżej przytaczam definicję z Analizy, Tom 1, str. 149 Krzysztofa Maurina. Polska Wikipedia się na tę monografię powołuje, ale z niej nie korzysta!
....
