Panta Rei, wszystko się zmienia. Kiedyś nowością były Facebook i Twitter. Dziś obie te platformy stały się środkami propagandy, cenzurującymi wypowiedzi kwestionujące politykę właścicieli i mocodawców. Za pisanie o tym czego właściciele nie lubią sypią się kary. Laura ostatnio została ukarana 24-godzinnym banem na Facebooku:
Wystarczy. Przechodzimy wszyscy, krewni i znajomi, na inną platformę: MeWe
„MeWe” - w angielskim oznacza „JaMy”, czytamy „miłi”. Ja jednak „We” kojarzem z „wektorem” i to nie byle jakim, ale stycznym do rozmaitości w danym punkcie. Zatem kontynuuję temat z poprzedniej notki Pochodne kierunkowe - to jest to. Wprowadziliśmy wektor styczny jako różniczkowanie algebry funkcji gładkich. Dziś przejdziemy na inną platformę, poznamy wektory styczne od innej strony. Może mniej eleganckiej, lecz bardziej oku i rozumowi przyjaznej – tak sądzę.
Przypomnę, że nie przejmujemy się „własnościami globalnymi”, i nasza rozmaitość M jest modelowana na zbiorze otwartym, oznaczmy go literką U, w Rn. Tyle, że nie przywiązujemy się do naturalnych współrzędnych (x1,...,xn) w Rn.
W poprzedniej notce oznaczylismy przez F algebrę funkcji gładkich na M (lub, co na to samo wychodzi, algebrę funkcji gładkich f(x1,...,xn) na U). Wektor styczny w punkcie p, to „różniczkowanie algebry F w punkcie p” czyli funkcja liniowa X:F → R o własności:
X(fg) = X(f)g(p)+f(pX(g)
dla dowolnych funkcji f,g z algebry F.
W poprzedniej notce pokazaliśmy, że wektory styczne do M w dowolnym punkcie p tworzą przestrzeń liniową n-wymiarową, zwykle oznaczamy ją symbolem Tp(M). Pokazaliśmy, że pochodne cząstkowe w punkcie p są bazą tej przestrzeni, a najogólniejszy wektor styczny w punkcie p jest ich kombinacją liniową
X(f) = ai (∂f /∂ xi)(x0)
gdzie x0 są współrzędnymi punktu p.
Przechodzimy teraz z eleganckiego Facebooka na póki co przyjazną MeWe. Wektor styczny? Czemu nazywa się styczny? Postaramy się teraz choć trochę to zrozumieć.
Niech γ(t) będzie krzywą sparametryzowną, różniczkowalną, przechodzącą przez punkt p. Powiedzmy, ża dla t=t0, jesteśmy w punkcie p. Na przykład na płaszczyźnie x,y możemy rozważać krzywą γ1(t) zadaną parametrycznie równaniami
x(t) = cos (t), y(t) = sin (t)
Krzywa ta, dla t=0, przechodzi przez punkt p o współrzędnych (1,0). Inna krzywa przechodząca przez ten sam punkt, to prosta γ2(t)
x(t) = 1, y(t) =t
Jeszcze inna krzywa przechodząca przez ten punkt to hiperbola γ3(t):
x(t) = cosh(t), y(t) = sinh(t)
Wszystkie trzy krzywe przechodzą przez ten sam punkt dla t=t0=0.
Wrócimy do tych przykładów, teraz jednak idźmy dalej. Mając krzywą gamma(t) jak wyżej możemy zdefiniować operator X działający na funkcjach f z algebry F jak następuję
X(f) = d f(γ(t))/dt |t=t0.
Zatem bierzemy wartości funkcji na krzywej i obliczamy pochodną tej funkcji po parametrze t w t=t0, odpowiadającym punktowi p.
Z formuły na różniczkowanie funkcji złożonej licealista stwierdzi, że X jest wektorem stycznym w punkcie p. Co więcej, stwierdzi, że
X(f) = ai (∂f /∂ xi)(x0)
gdzie ai = (dxi/dt)|t=t0.
Uwaga: Regułę "łańcuchową" różniczkowania funkcji złożonej mozna znaleźć tutaj
https://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/am/scb/index105.html
Interesuje nas przy tym Twierdzenie pod linią "Gdy n = 1 to twierdzenie o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej przybiera postać:"
Tak zdefiniowany wektor X nazywamy wektorem stycznym do krzywej gamma(t) w punkcie p=γ(t0), oznaczamy go często symbolem γ z kropką od t0.
Dla naszych trzech krzywych γ1,γ2, γ3 łatwo zauważamy, że dxi/dt w punkcie t0=0 we wszystkich trzech wypadkach to (0,1) (położyliśmy x1=x,x2=y) . Zatem wszystkie trzy krzywe definiują ten sam wektor styczny. Nic dziwnego. Wystarczy popatrzeć na rysunek
Najczęściej w podręcznikach geometrii różniczkowej wektor styczny definiujemy jako klasę równoważności krzywych definiujących to samo różniczkowanie X algebry F.
Z powyższego wynika, że krzywe są równoważne gdy definiują to samo ai, czyli gdy ich parametryczne równania mają te same pochodne po t w punkcie t0.
Myślę, że nasze podejście, od różniczkowań do krzywych, jest lepsze.
Jest jeszcze trzecia definicja wektora stycznego, ale o tym już w następnej notce.
-------------
P.S. Dodane 20.11.20: Oto odpowiedni fragment z "Analizy" Krzysztofa Maurina (Tom 2). "wzór (1)" to pierwszy ze wzorów na obrazku poniżej, ten na X(f):
