Układ otwarty
Ucz się tak, jakbyś miał żyć wiecznie, żyj tak jakbyś miał umrzeć jutro" Życie jest religią.
186 obserwujących
1441 notek
3423k odsłony
  651   0

Matematyka w krainie elfów

Grudzień to jakiś dziwny miesiąc. Miesiąc pożegnań. Żegna się z nami, mam nadzieję, że tylko chwilowo, zasłużony fizyk i nauczyciel katolickiej moralności bloger Eine (patrz notka Osobiste :Żegnam wszystkich tych,którzy) , pożegnał się właśnie z nami na dobre prof. Zbigniew Oziewicz   (patrz notka Zajtenberga: Sekta Oziewicza). A mój aktualny cykl notek swoje powstanie zawdzięcza, w dużej mierze, właśnie Zbigniewowi Oziewiczowi, który od dawien dawna interesował się algebrami Clifforda, gdy ja jeszcze nawet nie wiedziałem co to za pies ten cały Clifford.

Notka Zajtenberga rozpoczyna się tak:

Wczoraj poinformowano, że zmarł Zbigniew Oziewicz. Większej liczbie ludzi, może być znany ze swojej działalności opozycyjnej w Solidarności Walczącej, ale my, studenci fizyki roku 1986/7 poznaliśmy go z zupełnie innej strony.


Zaś mój artykuł, którego jeszcze nie napisane fragmenty tutaj przedstawiam, cytuje, jako podstawowy punkt odniesienia,  publikację Zbigniewa Oziewicza „From Grassmann to Clifford” właśnie z roku 1986. Idzie tam o to jak zdefiniować mnożenie w algebrze Clifforda gdy forma kwadratowa nie jest symetryczna. Oziewicz bodaj pierwszy wśród fizyków zwrócił w swojej pracy na ten problem uwagę. Ja niedawno odkryłem, że wcześniej zwrócił na to uwagę Bourbaki, w swojej „Algebrze”, i postawiłem sobie za cel rozpracowanie tej idei w detalach. Tak natrafiłem na problem funkcji eksponencjalnej od operatora liniowego w przestrzeni wektorowej o skończonej charakterystyce. I do tego w tym cyklu notek powoli zmierzam. Być może  zmierzam tak w krainę elfów, w krainę ze snów i marzeń. Jednak:

„... w krainie elfów panuje miłość i dobroć, nikt nie pozostaje bez pomocy. „

Z Wikipedii: Elf – stworzenie rodem z mitologii germańskiej, wykorzystywane w licznych książkach, filmach i grach w konwencji fantasy. Z początku elfy były pomniejszymi bożkami natury i płodności, później były przedstawiane jako chochliki lub duszki leśne bądź wodne. W folklorze przedstawiane są jako małe, wyglądające młodzieńczo ludziki wielkiej piękności, żyjące w lasach, źródłach, studniach, a nawet pod ziemią. Wierzono, że są długowieczne, jeśli nie nieśmiertelne i posiadają różnorakie magiczne moce.

image

Elfy tańczące na łące, Nils Blommér, 1850

Więc nawet jeśli to co robię nie jest ani fizyką, ani  matematyką, lecz jedynie poezją, to jednak posługuję się logiką. A „Logika jest najważniejszą zdobyczą ludzkiego ducha.” 34:51)

image

A „Matematyka jest jedyną poezją” 35:26

image

Każdy licealista i rozwiązywacz zagadek powinien obejrzeć ten film.

Przechodzę zatem do elfów. Tzn. do ifów. Ify wprowadziliśmy w poprzedniej notce – jako anty-różniczkowania algebry tensorowej. Algebra tensorowa T przestrzeni wektorowej V nad ciałem K to suma prosta tensorów różnej walencji (tak to się czasem nazywa)

T = K ⊕ V ⊕ V⊗V ⊕ V ⊗V⊗V ⊕ …

Tensory walencji 0 to skalary, elementy ciała K. Tensory walencji 1 to wektory, elementy przestrzeni V. Tensory walencji 2 (tensory dwukrotnie kontrawariantne), to elementy przestrzeni  V⊗V. Tensory z  V⊗V postaci x⊗y to tzw. tensory proste (lub „produktowe”). Jednak nie należy zapominać, że  V⊗V jest przestrzenią liniową, zatem należą do niej również tensory  x⊗y+ u⊗v,
itd. itp. Mamy też przestrzeń dualną V*, przestrzeń „form”, czyli liniowych funkcjonałów na V o wartościach w K. W poprzedniej notce z każdą formą f związaliśmy liniowy operator if działający w T, zdefiniowany dwoma warunkami:

if 1 = 0,            (*)
if ex + ex if = f(x) I dla każdego x z V,    (**)

gdzie ex  jest operatorem mnożenia tensorowego z lewej przez x:

ex u = x⊗u

dla każdych x z V, oraz u z T. Wyprowadziliśmy stąd jak działa if na dowolne tensory jednorodne proste:

if(x1⊗...⊗xk) = ∑ i=1 k (-1)i+1 f(xi)x1⊗...⊗[xi]⊗...⊗xk

gdzie xi w nawiasie kwadratowym, [xi], oznacza, że ten człon w iloczynie opuszczamy. Z formuły tej jasno widać, że odwzorowanie f → if, z V* w operatory liniowe na T,  jest liniowe.

Reguła ta wygląda dość skomplikowanie. Rozpiszmy więc a wszystko stanie się jasne

if(x) = f(x)
iff(x⊗y) = f(x)y – f(y)x
if(x⊗y⊗z) = f(x)y⊗z – f(y)x⊗z +f(z)x⊗y
if(x⊗y⊗z⊗u) = f(x)y⊗z⊗u – f(y)x⊗z⊗u +f(z)x⊗y⊗u-f(u) x⊗y⊗z
itd.

Zatem nasze elfy, tzn. nasze ify działają bardzo prosto, wynik ich działania jest łatwy, zdawałoby się do przewidzenia.... A jednak.... A jednak z elfami trzeba być ostrożnym. Elfy są bowiem, przepraszam za wyrażenie,  nilpotentne! Z pierwszej i drugiej równości możemy obliczyć działanie (if)2 na  x⊗y:

(if)2 (x⊗y) = if(f(x)y – f(y)x)= f(x)f(y)-f(y)f(x)=0.

Tak samo, tylko więcej rachunków, wyjdzie obliczając  (if)2 w działaniu na  x⊗y⊗z i na  x⊗y⊗z⊗u. Wyrazy się poupraszczają i wynikiem będzie zero. Chcielibyśmy teraz zatem udowodnić, że zawsze wyjdzie zero. Mamy hipotezę, ale jak znaleźć dowód tej hipotezy?

W matematyce niby mamy do czynienia z rozumowaniem dedukcyjnym. Twierdzenia są niczym innym aniżeli logicznymi wnioskami z aksjomatów i z definicji. Prosta sprawa niby: logiczny wniosek, cóż trudnego. A jednak.... Mamy twierdzenie i pojawia się pytanie: jak znaleźć jego dowód? Którą drogą pójść. Gdzie zacząć, w którą stronę, na którym etapie i jak skręcić? Jak w labiryncie. By znaleźć dowód jakiegoś twierdenia, choć niby to tylko „logiczny wniosek”, potrzebna jest wiedza, intuicja, doświadczenie, wytrwałość, a także „łut szczęścia”.  Oczywiście zazwyczaj dowody widać jak na dłoni. Jednak bywają także twierdzenia (np. Twierdzenie Fermata) i hipotezy (np. hipoteza Riemanna) wyjątkowo oporne.

W naszym przypadku posłużymy się znaną algebraiczną sztuczką. Pomnóżmy równanie (**) z lewej i z prawej przez if i wypiszmy pod sobą. Przy tym i f(x)= f(x)if, bowiem f(x) jest liczbą.

if if ex + if ex if = f(x) if
if ex if + ex if if = f(x) if

Odejmując stronami otrzymujemy

(if)2 ex = ex (if)2

Skoro (if)2 jest przemienne z ex, to jest przemienne z ex ey i z dowolnym

ex1....exn



Ale  ex1...exn 1 =x1⊗....⊗xn, zaś if(1)=0

Stąd  (if)2 (x1⊗....⊗xn)=0 dla dowolnych x1,...,xn z V. Stąd (if)2=0. Czyli elfy – ify są nilponentami! Ich kwadraty (a zatem i wszelkie wyższe potęgi) są zerami. Stąd już, logicznie,  wynika, że dla f,g z V*, if i ig antykomutują

if ig + ig if = 0.

Bowiem, z liniowości f → if, mamy  if+g= if +ig, a ponieważ (if+g)2=0, to

if2+if ig + ig if +ig2 =0

a stąd

if ig + ig if =0.

I tak oswoiliśmy się nieco z elfami. W kolejnej notce spotkamy się z małą wariacją – przy pomocy formy biliniowej F stworzymy elfa z wektora x, nie będziemy się musieli wybierać do krainy form V*. Forma F nam tę podróż zastąpi. Ale ten magiczny taniec elfów nastąpi już  w kolejnej odsłonie – w sobotę.




 



Lubię to! Skomentuj11 Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Salon24 news

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie