Od dłuższego czasu szamocę się z problemem jak zdefiniować eksponencjał gdy, na przykład, nie wolno dzielić przez 2? Normalnie exp(a) definiujemy jako sumę szeregu
exp(a) = 1+a+...+an/(n!)+...
A co jeśli 2=0? Tak jak to jest w systemie dwójkowym? Przyjęcie umowy, że 0!=1 sprawy nie rozwiązuje, bowiem z tak przyjętą umową nie otrzymamy najważniejszej własności eksponencjału, mianowicie tej, że exp(a+b) = exp(a) exp(b) gdy a i b są przemienne.
Matematycy zetknęli się z tym problemem już dość dawno, bodaj około roku 1950, kiedy to Jean Dieudonne, członek francuskiej grupy matematyków występujacej pod pseudonimem Nicolas Bourbaki, pracował nad uogolnieniem grup i algebr Liego na przypadek ciał skończonych. Wtedy była to czysta matematyczna przygoda. Dziś ciała skończone to szał i pieniądz – w związku z eksplozją zainteresowań kryptografią.
Narzucającą się metodą obejścia problemu dzielenia przez zero jest „renormalizacja”, sztuczka często stosowana w fizyce kwantowej, gdy chcemy nadać sens temu, co brane dosłownie sensu nie ma. Dokonujemy mianowicie przedefiniowania naszego obiektu zainteresowania.
W formule na exp(a) wyrażamy exp(a) przez potęgi a. Które potem dzielimy przez silnie, i dzieląc wpadamy w tarapaty.
Więc przedefiniujmy. Zamiast jednego a i kolejnych jego potęg, wprowadźmy ciąg ak zdefiniowany prowizorycznie jako
ak = ak/(k!)
Wtedy a0=1 oraz
exp(a) = a0+a1+...+ak+...
Nie ma tu już żadnego dzielenia. Same dodawania. Jednak nasz nowy obiekt zainteresowania, mianowicie ciąg ak, musi spełniać dodatkowe warunki. Znajdźmy te warunki. Podstawową własnością potęg jest ta;
ak al = a k+l (*)
Ale
ak = k! ak, al = l! al, ak+l = (k+l)!ak+l
Zatem (*) możemy przepisać jako:
ak al = ((k+l)!/(k!l!) ) ak+l (**)
Warunki (**) są teraz tymi, które nasz nowy obiekt zainteresowania, mianowicie ciąg ak, winien spełniać. Cała tajemnica eksponencjału się w tych warunkach zawiera!
I rzecz w tym, że w formułach (**) nie musimy już dzielić zero! Na pierwszy rzut oka niczego nie zyskaliśmy, bowiem w (**) dalej straszą k! I l! w mianowniku. Jednak strachy na lachy, my się wilka nie boimy
Zakładając k ≤ n, oznaczmy przez ((n,k)) wyrażenie
((n,k)) = n!/(k!(n-k)!) (***)
Zauważmy, że ((n,k)) = ((n,(n-k))). W naszym przypadku n = k+l, ale zostawmy ten nasz przypadek na potem.
Naszym zadaniem jest pokazanie, że wilk jest tylko iluzoryczny, że ((n,k)) jest liczbą całkowitą, którą można otrzymać zupełnie innym sposobem, bez dzielenia czegokolwiek przez cokolwiek.
By się pozbyć natrętnego wilka potrzebny nam będzie czarodziejski trójkąt, mianowicie trójkąt Pascala. Z
Wikipedii:
Trójkąt Pascala – trójkątna tablica liczb:
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Każda liczba w trójkącie jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią
Na bokach trójkąta znajdują się liczby 1, a pozostałe powstają jako suma dwóch bezpośrednio znajdujących się nad nią.
Jest jasne, że wszystkie liczby w trójkącie pascala są liczbami całkowitymi. Oznaczmy przez (n,k) k-ty element w n-tym rzędzie trójkąta Pascala. Naszym celem jest teraz wykazanie, że ((n,k)) zdefiniowane w (***) jest równe (n,k), które jest zdefiniowane przez algorytm konstruowania trójkąta Pascala. Gdy to pokażemy, stanie się jasne, że wilk był tylko urojony.
Algorytm budowania trójkąta Pascala, mianowicie: "Każda liczba w trójkącie jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nią" możemy przedtawić formułą rekurencyjną:
(n,k) = (n-1, k-1) + (n-1,k) (x)
Możemy sprawdzić na obrazku powyższym, że o to właśnie idzie.
Do tego mamy warunki brzegowe: jedynki na skraju trójkąta:
(n,1) = (n,n) = 1 . (xx)
Pokażemy teraz, że ((n,k)) zdefiniowane przez ułamek (***) spełnia warunki (x) oraz (xx), zatem, że
((n,k)) = (n,k)
i wilka mamy z głowy.
Jest jasne z definicji (***), że
((n,1)) = ((n,n))
Wystarczy zatem pokazać, że 
Jest to zadanie dla nudzącego się licealisty. Ja sam oczywiście musiałem się napocić by tę równość udowodnić, ale ja to ja, liceum już dawno mam za sobą i wytężać aż tak bardzo głowy już nie muszę.
W jednej z kolejnych notek zwiążemy nasze silnie i trójkąty, tzn nasze ((n,k))= (n,k), z trzecim obiektem naszych zainteresowań, którym będą kombinacje i permutacje. Bo te okażą się pomocne w akcji rozbierania lambdy.
