Dzisiejsza notka jest przedłużeniem tej z 2-go listopada: "Hiperboloida masy i E=mc2". Jako ilustracja będzie nam służył ten sam rysunek:
Na obrazku widzimy hiperboloidę masy, gdzie na osi pionowej odłożona jest energia. Ja będę wolał malować ten obrazek w przestrzeni czteropędu i na osi pionowej odkładać p0= E/c = ± √( p2 + m02c2). Ponieważ nam będzie wygodnie wybrać układ jednostek w którym prędkość światła c=1, więc nie będzie różnicy. Przypomnijmy podstawową formułę ze wspomnianej wyżej notki
p02- p12- p22- p32 = m02 c2
skąd, dla górnej powłoki hiperboloidy mamy
p0= +√( p2 + m02c2)
Dla p=0 dostajemy p0= m0c - punkt na samym dnie hiperboloidy. Gdy m0 =0, dla cząstek o masie spoczynkowej zero, jak fotony i bezmasowe neutrina, hiperboloida degeneruje się w stożek ("świetlny").
Hiperboloida masy jest powierzchnią trójwymiarową w czterowymiarowej przestrzeni Minkowskiego. Aby ją narysować w przestrzeni trójwymiarowej (a potem jeszcze zrzutować na dwuwymiarowy ekran) opuszczamy jeden z wymiarów, na przykład pz=p3.
Przyjrzymy się teraz bliżej geometrii hiperboloidy masy (a w granicy - stożka świetlnego). Geometria ta się przydaje na przykład przy dyskusji tzw. fazy Berry'ego dla fotonów (patrz np. Papini, "On the classical origin of Berry's phase for photons" i tam cytowane prace autorów Zofia i Iwo Białyniecki-Birula).
Co to jest geometria? Według Felixa Kleina gometria to badanie niezmienników grupy transformacji. I tak dziś to przyjmujemy. I tak też będziemy badać geometrię hiperboloidy masy i stożka świetlnego. Zaczniemy od grupy transformacji. A co to za transformacje? Oczywiście nic innego niż transformacje Lorentza. Obroty, porywy, i ich złożenia. Opiszemy zatem najpierw jak te transformacje działają na punkty hiperboloidy masy.
Może przypomnę najpierw, że tak hiperboloida jak i stożek są 3-wymiarowymi rozmaitościami - tak to się w geometrii mówi gdy mamy do czynienia z czymś czego punkty wymagają trzech niezależnych współrzędnych do ich opisania. Przy tym ze stożka wyrzucamy sam czubek p=0. A powód jest taki, że na samym czubku nie wiadomo co to jest krzywa styczna do czubka. Dla czubka nie mielibyśmy dobrego pojęcia wektorów stycznych w danym punkcie, a geometria różniczkowa tego wymaga. Zresztą fizyka od tego wyrzucenia czubka nie cierpi, bowiem co to byłby za foton o energii zero?
Powróćmy teraz do transformacji Lorentza: obrotów, porywów (inaczej: szczególnych transformacji Lorentza), i ich złożeń. Zacznijmy od obrotów. Te nie ruszają osi czasu, obraca się jedynie wektor p, zwykłą macierzą obrotu. Na przykład wokół osi z:
px' = cos(t) px + sin(t) py
py' = -sin(t) px +cos(t) py
pz' = pz
t jest kątem obrotu, może być dodatnie lub ujemne.
Na rysunku powyżej taki obrót w działaniu na dowolny punkt rysuje okrąg na hiperboloidzie (czy na stożku), przecięcie hiperboloidy z płaszczyzną poziomą. W trójwymiarowej przestrzeni możemy obracać wokół dowolnej osi o dowolny kąt. Zauważmy przy tym, że mając dwa wektory p, p' o tej samej długości, t.j. takie, że p2= p'2 zawsze istnieje obrót przeprowadzający p w p'.
Porywy działają pionowo. Typowy poryw (wzdłuż osi x) to
p0' = cosh(w) p0 + sinh(w) p1
p1' = sinh(w) p0 + cosh(w) p1
p2'=p2, p3'=p3.
Przy obrotach kąt t zmienia się od 0 do 2 pi, przy porywach parametr porywczości w zmienia się od minus do plus nieskończoności.
Orbity przy obrotach to poziome okręgi, przecięcia hiperboli z płaszczyznami poziomymi.
Orbity przy porywach to pionowe hiperbole - przecięcia płaszczyzn pionowych z hiperboloidą.
Zauważmy, że grupa Lorentza działa na hiperboloidę tranzytywnie. To znaczy, dla dowolnych dwóch punktów p i p' istnieje transformacja Lorentza, złożenie obrotów i porywów, która przeprowadza p w p'. W samej rzeczy najpierw możemy oba punkty obrócić tak, że każdy z nich ma py=pz=0, a następnie zastosować szczególny poryw opisany wyżej. W sumie mamy złożenie trzech transformacji: dwóch obrotów i jednego porywu. Lub jeszcze inaczej. Obrócić punkt p' tak by leżał nad p, a następnie zastosować poryw w kierunku wektora p. Tu mamy złożenie jedynie dwóch transformacji.
Ten fakt tranzytywnego działania grupy jest punktem wyjścia do badania geometrii w rozumieniu Felixa Kleina. I teraz wiemy, że w istocie to mamy.
