Foton - kwant światła. Tak mówią? Ale co to jest kwant? I co to jest światło? Foton - kwant energii. Ale co to jest ta "energia"? Foton - ma spin. Ale co to ten cały spin? Światło - może być spolaryzowane. Ale co to takiego ta polaryzacja?
Z polaryzacją jest już trochę lepiej. Możemy ją opisać matematycznie-algebraicznie. Algebra to rzecz prosta. Licealiści z łatwością mogą ją opanować. Tyle, że nie opanowują. W liceach jest zmowa. Licealista, który opanowałby algebrę mógłby stać się mądrzejszy od nauczyciela. Dlatego w liceach algebry nie uczą. Uczą dwumianu, ale algebry nie uczą. A algebra to macierze. Czemu w szkołach nie uczą macierzy? Czemu nie uczą kwaternionów? Widać jest to wiedza niebezpieczna. Odciąga od rzeczywstości w mistykę, w urojone byty. Zawraca uczniom w głowie. Uczą o Duchu Świętym, a o kwaternionach nie uczą. Uczą o Trójcy Przenajświętszej , ale nie o trójcy kwaternionów i,j,k. O Trójcy wiele pisał Issac Newton, Żyd kabalista. Kwestionował ten dogmat. Bo nie znał kwaternionów. Tym bardziej nie znał oktonionów.
Foton ma spin. Elektron ma spin 1/2. Foton ma spin 1. A ściślej: ma skrętność, dynamiczną skrętność. Świat, życie, świadomość, informacja - wszystko to jest dzięki skrętności. W angielskim: helicity. Spiralność. Wirują planety, wirują galaktyki. Wiry, wiry, i wiry nad wirami. Oto jest tajemnica istnienia. Zajmijmy się nią bliżej.
Przestrzeń jest trójwymiarowa. Malarz przedstawia ją na płaszczyźnie dwuwymiarowej. Cezanne bez umiaru malował górę św. Wiktorii.
Polska transkrypcja tutaj.
Jak przedstawić trójwymiarową przestrzeń na dwuwymiarowej płaszczyźnie? Jak operować światłem i kolorami i geometrycznymi formami? Jak operować światłem?
Oto jak. Funkcja falowa fotonu to trójka funkcji zespolonych f(k)=(f1(k),f2(k),f3(k)). Argumentem jest wektor falowy k o wymiarze fizycznym równym odwrotności długości. Na zespolonych 3-wektorach operują zespolone macierze 3x3. Oto trzy podstawowe macierze związane z wirowaniem:
Urojone kwaterniony i,j,k mają własności:
ij=k, ji=-k
jk=i, kj=-i
ki=j, ik =-j
Skąd wynika m.in
[ ½i, ½j] = ½k
gdzie komutator [A,B]=AB-BA jest fundamentalną operacją na miecierzach. Mnożenie macierzy, w przeciwieństwie do mnożenia liczb (rzeczywistych czy zespolonych) jest nieprzemienne. I to jest wielka tajemnica i moc algebry,
Macierze Σ spełniają te same relacje komutacji co (połówkowe) urojone kwaterniony
[Σ1,Σ2]=Σ3
[Σ2,Σ3]=Σ1
[Σ3,Σ1]=Σ2
To są generatory trójwymiarowych obrotów. Idziemy do Wolfram Alpha i wpisujemy:
Otrzymujemy macierz obrotu o kąt phi wokół osi x. Podobnie Σ2 jest generatorem obrotów wokół osi y. Podobnie Σ3 - jest generatorem obrotów wokół osi z. Obroty, wiry.
Ale chcemy obracać funkcje falowe fotonu. Obroty związane są z krętem. Kręt to wielkość fizyczna. W mechnice kwantowej z wielkościami fizycznymi wiążemy macierze hermitowskie. Macierze Σ są antyhermitowskie. Co robi fizyk? Mnoży Σ przez urojone i, i dostaje macierze hermitowskie:
Nie musi w ogóle myśleć. Sięga do szuflady i wyciąga urojone i. Gdyby nie liczby zespolone, nie byłoby mechaniki kwantowej. Tajemnicze wszechmocne i. Pierwiastek z minus 1. Największy wynalazek wszech czasów. Ta poniższa formuła Eulera uważana jest za jedną z najpiękniejszych formuł matematycznych wszech czasów; Euler - Mozart matematyki, tak mówią:
Mamy więc macierze S - hermitowskie operatory krętu. Z nich budujemy macierz-operator skrętności Λ :
Λ =(k1 S1 + k2 S2 + k3 S3)/k0
gdzie k0 = √ (k12+k22+k32)
Operator Λ jest hermitowski. Ma wartości własne 0,-1,+1. Te dwie ostatnie dotyczą fotonu. Foton ma dwa stopnie swobody. Tak jak kanwa Cezanne'a. Musimy się nauczyć rzutowac z trójwymiarowej przestrzeni na dwuwymiarową kanwę fotonu.
Macierz Λ2 jest hermitowska Ma wartości własne 0 i +1. To operator rzutowania na dwywymiarową kanwę stanów fotonu. Lepiej wprowadzić dwa operatory rzutowania na podprzestrzenie o określonej skrętności
P1 = (Λ2+Λ )/2
P2 = (Λ2-Λ )/2
Teraz P1+P2=Λ2.
P1 rzutuje na stany fotonu o skrętności +1, P2 rzutuje na stany fotonu o skrętności -1. Oto ich jawna postać
:
Potrzebny nam będzie jeszcze operator odbicia w czasie Θ:
(Θf)(k)=f(-k)*
I teraz już możemy wrócić do wektora Riemanna-Silbersteina z poprzedniej notki. Niesłusznie się tak po Białynickich przejechałem. Posądziłem ich, że chcą zaczesać niezaczesywalną sferę. Faktycznie tak to wyglądało. Jednak wektor Riemanna-Silbersteina możemy wprowadzić bez zaczesywania sfery. Dopiero, wczoraj to zrozumiałem. Formuła jest prosta.
Bierzemy funkcję falową fotonu f(k,t). Może być zależna od czasu. I budujemy z niej wektor Riemanna-Silbersteina:
F(k,t)= P1 f(k,t) + P2 (Θf)(k,t)
Jeśli chcemy, możemy wziąć odwrotną transfomatę Fouriera i wyliczyć F(x,t). Część rzeczywista to pole elektryczne, część urojona - to pole magnetyczne. Rach-ciach i po wszystkim.
I nie ma żadnych osobliwości związanych z zaczesywaniem niezaczesywalnej sfery. Bowiem macierze P1 i P2 nie mają żadnych osobliwości. Jest oczywiście osbliwość dla k=0, ale fotonów o pędzie zerowym nie ma.
