Układ otwarty
Ucz się tak, jakbyś miał żyć wiecznie, żyj tak jakbyś miał umrzeć jutro" Życie jest religią.
185 obserwujących
1433 notki
3411k odsłon
1480 odsłon

Działając na czas i na przestrzeń

Wykop Skomentuj17

 

Fraktale mają polskie korzenie. Dobrze o tym wiedzieć. Ja nie zdawałem sobie z tego sprawy. Do przedwczoraj, kiedy to obejrzałem wielce interesujący film z Youtube
 
Fractals - Hunting The Hidden Dimension [Full - Hd 720p]
 
Potem zajrzałem do świeżo wydanej autobiografii Benoit Mandelbrota „The Fractalist: Memoir of a Scientific Maverick”
 

Mandelbrot Fractalist

 
Tłumacz angielsko-polski Google tłumaczy „maverick” jako „politycznie niezależny”. No, nie wiem. Faktem jest jednak, że Mandelbrota cechowała oryginalność myślenia i działania. Zgodna zresztą z zaleceniem Gurdżijewa: „Jeśli już masz coś robić, to albo nie rób nic, po prostu się ucz, albo, jak już coś robisz, rób coś, czego nikt inny nie robi.” (ang. „Either do nothing—just go to school—or do something nobody else does.” )
 
Cechą szczególną Mandelbrota była niezwykle rozwinięta zdolność przetwarzania abstrakcyjnego rozumowania na obrazy.
 
Czytając to doszedłem do wniosku, że takiej zdolności mi brakuje, że chcę nad tą sprawą popracować. Rozwinąć tę zdolność u siebie. Jak mi to pójdzie? Zobaczymy.
 
Wczoraj na dobranockę oglądaliśmy z Laurą inny film z Youtube:
 
 
Nemesis-The Suns Evil Twin Brother
 

Siedział samotny, odgrodzony od świata.

Gdzieś tam były gwiazdy i ta jedna, wokół której krążyło kilka planet. Widział ją oczyma duszy; widział ją znacznie lepiej niż w rzeczywistości za matowymi teraz oknami.

Niewielka, różowoczerwona gwiazda, koloru krwi i zagłady, nosząca także odpowiednie miano.

Nemezis!

Nemezis, uosobienie zemsty bogów.

Przypomniał sobie opowieść zasłyszaną w dzieciństwie; legendę, mit, baśń o ziemskim potopie, który zgładził grzeszną, zdegenerowaną ludzkość, ocalając jedną rodzinę, od której wszystko zaczęło się na nowo.

Tym razem nie było potopu. Tylko Nemezis.

Ludzkość ponownie uległa degeneracji i zemsta Nemezis będzie odpowiednią karą. Żaden potop. Nic tak trywialnego jak potop.

Czy ktoś ocaleje...? A jeśli nawet, to dokąd pójdzie?

....

Isaac Asimov, Nemesis

 
Jest to film „popularno-naukowy”. Ilustracje zjawisk astronomicznych były tam zadziwiające: występował tam młody żongler, występowali trampoliniści (no, ci co skaczą wysoko na batucie). Laura się z tego śmiała. Ale ja, po namyśle, doszedłem do wniosku, że takie ilustracje jednak coś dają, nawet wtedy gdy teoretycznie ma się wszystkie równania opanowane. Obrazy są ważne. Ruch jest też ważny. Postaram się więc dawać więcej obrazów i więcej ruchu w moich notkach. Samemu mi się to przyda. Oczywiście wymaga to dodatkowego nakładu pracy. A z czasem tymczasem krucho....
 
Zatem do czasu i do przestrzeni się zabierzmy. Lepiej powoli a dobrze niż po łebkach choć szybko.
 
SL(2,R) – o grupie macierzy 2x2 o współczynnikach rzeczywistych i wyznaczniku równym 1 była ostatnia notka. To abstrakcja. Niewiele nam ona mówi. Macierz jak macierz:
 

macierz abcd

 
Nawet jeśli macierz przedstawię na czerwono:
 

macierz kwadratowa

 
nie stanie się od tego mniej abstrakcyjna. Podobnie z wyznacznikiem:
 
Ot, symbole. Algebra. A gdzie geometria? Geometria pojawia się zazwyczaj w działaniu. O jednym działaniu już wspominałem
 

liniowo uamkowe

 
Niezbyt to przemawia do wyobraźni, nawet jak powiększę:
 

 
By przemówiło do wyobraźni wprowadźmy na scenę czas i przestrzeń. Ale nad tym trzeba najpierw nieco popracować. Praca nie hańbi, ważne by w końcu na coś się jej wyniki przydały, by dała dochód.
 
Czas to jeden wymiar – pozwólmy mu biec po całej prostej, zmienną reprezentującą czas oznaczmy literką t. Przestrzeń będzie u nas miała dwa wymiary, wybierzemy x oraz z.
 
Wprowadźmy, jak to było w poprzedniej notce trzy macierze symetryczne:
 

baza macierzy symetrycznych rzeczywistych

 
Z każdym punktem p czasoprzestrzeni, punktem o współrzędnych (t,x,z) zwiążmy teraz macierz P daną przez formułkę
 

rozkad na bazę

 
Mając dowolną macierz symetryczną P = [[a,b],[b,d]] możemy z niej łatwo odczytać odpowiadające jej współrzędne t,x,z:
 
t = (a+d)/2, x = b, z = (a-d)/2.
 
Macierze symetryczne możemy teraz przedstawiać jako punkty w przestrzeni o trzech wymiarach, ze współrzędnymi t,x,z. Czemu t,x,z a nie x,y,z jak uczą w szkole? Wkrótce się to okaże. Bowiem w międzyczasie zgubiliśmy naszą SL(2,R). Wróćmy więc do niej. Macierze z SL(2,R) nie są na ogół symetryczne. Przykładem może być macierz
 

macierz z A

 
Dla dowolnej macierzy A oznaczmy przez At macierz transponowaną do macierzy A. Operacja transpozycji zmienia kolejność mnożenia macierzy, a podwójne transponowanie powraca do punktu wyjścia:
 

Transponowanie macierzy

 
Wynika z tego następujący wniosek:
 
Wniosek: Dla dowolnej macierzy A, jeśli P jest macierzą symetryczną: P = Pt, to P' = APAt jest też macierzą symetryczną (P')t = P'.
 
Przejście od P do P' poprzez działanie macierzą A jak wyżej jest więc pewnym działaniem macierzy na naszą „czasoprzestrzeń”. Ponieważ interesują nas macierze A z SL(2,R) ograniczmy się do nich. Cechuje je własność, że det(A) = 1. Obliczmy teraz wyznacznik z obu stron formułki na działanie, korzystamy przy tym z faktu, że wyznacznik iloczynu jest iloczynem wyznaczników, oraz, że wyznacznik macierz transponowanej jest taki sam jak wyznacznik macierzy wyjściowej: det (P') = det( APAt) = det(A) det(P) det(At) = 1 det(P) 1 = det(P).
 
Zatem: Działanie P → P' = APAt grupy SL(2,R) na symetryczne macierze P nie zmienia wyznacznika macierzy P. A cóż to takiego ten wyznacznik w języku zmiennych t,x,z? Łatwo to wyliczyć z ogólnej formuły na wyznacznik:
 

wyznacznik forma kwadratowa minkowskiego

Wykop Skomentuj17
Ciekawi nas Twoje zdanie! Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Salon24 news

Co o tym sądzisz?

Inne tematy w dziale Technologie