Kocha nie kocha czyli na troje babka wróżyła

Na troje babka wróżyła? A może na czworo? W poprzedniej notce Królik na symplektycznej orbicie zabraliśmy się za klasyfikację orbit hamiltonowskiej dynamiki dla kwadratowych hamiltonianów. Sprowadziło się to to do powierzchni w trójwymiarowej przestrzeni opisanych równaniami

1) z²- x² - y² = r² > 0

2) z² - x² - y² = - r² < 0

3) z² - x² - y² = 0

Przypomnę, że przy danych x,y,z mamy macierz X

-y x+z

x-z y

Ta macierz powstała z hamiltonianu h: X = Jh, gdzie J jest macierzą

0 1

-1 0

Oznaczając przez z wektor-kolumienkę (x,p) rozwiązanie równań ruchu to

z(t) = M(t) z(0)

gdzie M(t) = exp (tX).

Tyle tytułem przypomnienia. Teraz zabieramy się za analizę. A dalej za analizę tej analizy i za „co z tego wynika?”.

Najpierw przypadek 1). Ten przerobię dokładnie. Inne już po łebkach (mniejszych lub większych, bo łebki bywają różne).

z²- x² – y² jest stałe na orbicie. Załóżmy, że jest dodatnie, powiedzmy równe +1. Co to za orbita? Gdy z²- x² - y² = 1, to

z = ±√ (1+x²+y²)

To hiperboloida dwu-powłokowa. Obrazek możemy skopiować z Wikipedii:

Każdy punkt na tej powierzchni wyznacza pewną dynamikę. Dynamiki odpowiadające różnym punktom są do siebie „podobne”. No to weźmy jeden taki punkt, powiedzmy x=0,y=0,z=1. To czubek górnej powłoki. Odpowiadająca temu punktowi macierz X to

0 1

-1 0

Wychodzi, że to nasze J. Ponieważ X=Jh, to h jest macierzą jednostkową

1 0

0 1

Stąd h(x,p) = x²+p². Z dokładnością do współczynnika jest to hamiltonian dobrze nam znanego oscylatora harmonicznego.

Obliczamy M(t) = exp (tX) dla tego przypadku. Macierz tX to macierz

0 t

-t 0

Trzeba obliczyć jej eksponencjał. Można to robić na palcach, można zapytać mądrego programu, można zapytać Tichego. Ja zapytałem programu Mathematica:

MatrixExp[{{0, t}, {-t, 0}}]

Otrzymałem odpowiedź:

{{Cos[t], Sin[t]}, {-Sin[t], Cos[t]}}

Czyli M(t) jest macierzą

cos(t) sin(t)

-sin(t) cos (t)

Jeśli punkt startowy wybiorę x(0)=0, p(0)=1, dostaniemy

x(t) = sin(t)

p(t) = cos(t)

Jest to okrąg w przestrzeni fazowej. Punkt porusza się po tym okręgu w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

Położenie x(t) sinusoidalnie oscyluje. Pęd też oscyluje, tyle, że w przesuniętej fazie. Jak przystało na sprężynkę-oscylator.

Wypada się zabrać za przypadek drugi, gdy z² - x² - y² = - r² < 0. Co to za pies? Co za dynamika? A potem za trzeci i czwarty.

W następnej notce.