Picasso - zimny czy gorący?

Odciągnęło mnie ostatnio od fizyki i zamieszkałem chwilowo w gościnie u Platona. Dobrze, że wziąłem ze sobą kamerę cyfrową (Olympus SP-560UZ), więc od czasu do czasu prztykam zdjęcia z tych egzotycznych okolic. Muszę się jednak z tym ukrywać, bo moja kamera wzbudza nieufność.

Dziś przedstawię trzy z tych fotek. Choć na zdjęciach nie są widoczne, to jednak w tle stoją znane nam dobrze i nie lubiane funkcje trygonometryczne: Sinus i Cosinus. A także liczba Pi, o której wielkie księgi napisano.

Przypuśćmy, że mamy daną liczbę rzeczywistą r i ciąg liczb rzeczywistych s₁,s₂,s₃,....

Możemy wtedy skonstruować, podług recepty Platona, (no, nie całkiem, bo tak naprawdę, to bodaj pierwszy na serio i z formułami badał to Gauss), ciąg (x[k],y[k]) punktów na płaszczyźnie o współrzędnych:

x[1] = cos(2 π r s₁)

y[1] = sin(2 π r s₁)

x[2] = cos(2 π r s₁) + cos(2 π r s₂)

y[2] = sin(2 π r s₁) + sin(2 π r s₂)

x[3] = cos(2 π r s₁) + cos(2 π r s₂) + cos(2 π r s₃)

y[3] = sin(2 π r s₁) + sin(2 π r s₂) + sin(2 π r s₃)

itd

Punkty te kolejno łączymy prostymi odcinkami i patrzymy co wyjdzie. Gdy coś ciekawie wychodzi, a wszystko zależy od wyboru ciągu s_k, robimy fotkę i dzielimy się ze znajomymi. Jako, że wszystkich możliwych ciągów jest nieskończenie (wręcz nieprzeliczalnie wiele), pole do inwencji artystycznej jest ogromne. Choć liczbę r można by włączyć do definicji ciągu s_k, zwykle się tak nie robi i przy danym ciekawym ciągu s_k, badamy jak się zmienia obrazek przy zmianie r.

W przedostatniej notce wprowadziłem ciąg s_k zdefiniowany jako:

s_k = liczba jedynek w przedstawieniu dwójkowym liczby k.

Wybierając kolejno r = 1/4 i r = 1/3 dostałem takie oto obrazki:

 

 

Wybierając zaś ciąg s_k = k³ oraz r = 1/1002 wyszło na zdjęciu coś całkiem innego:

 

 

Aby podać pełne informacje, dodam, że w pierwszych dwóch przypadkach wziąłem 2048 wyrazów ciągu, zaś w trzecim 4000.

Program Wolframa Mathematica załatwia to w jednej linijce. Np. Pierwszy obrazek dostałem z linijki:

 

 

p14=Style[Graphics[Line[FoldList[Plus,{0.,0.},
Through[{Cos,Sin}[#]]&/@(2 Pi (1/4) Map[Function[k,DigitCount[k,2,1]],
Range[0,2048]])]]],AntialiasingTrue,
BackgroundGray]

 

a trzeci z linijki:

 p1002=Style[Graphics[Line[FoldList[Plus,
{0.,0.},Through[{Cos,Sin}[#]]&/@(2 Pi(1/1002)
Map[Function[k,k^3],Range[0,4000]])]]],
Antialiasing->True,Background->Gray]

Ten algorytm produkowanie obrazków można zresztą trochę zmienić. Informatyk z Drezna Prof. Dr.-Ing. habil. E.P. Stoschek polubił te zawijaski do tego stopniu, że ma chyba z tysiąc różnych przykładów – pewnie to były ćwiczenia dla studentów. Jego algorytm ma jednak dodatkowe sumowania w wykładniku, których u mnie nie ma. Robi się i tak i tak.

Co ciekawe, wychodząc od idei Poincarego i Steinhausa,

 

 

francuski matematyk Michel Mendes-France

 

 

 

wprowadził pojęcia temperatury, ciśnienia i objętości zawijaska. Można więc zmierzyć czy dany obrazek jest zimny czy gorący. Czeski matematyk i informatyk z Pragi, Jaroslav Nesetril wziął sobie to serio do serca i mierzy entropię klasycznych dzieł sztuki. Oczywiście cytuje naszego Steinhausa!