Blog
Układ otwarty
Arkadiusz Jadczyk
Arkadiusz Jadczyk fizyk teoretyk
148 obserwujących 1191 notek 2829595 odsłon
Arkadiusz Jadczyk, 30 grudnia 2016 r.

Niebieskie kwaterniony i zemsta Gargamela

359 16 0 A A A

Jak mówi czarownik Gargamel: "Chyba brak ci niebieskiej klepki!" i „Zemsta jest rozkoszą czarowników”. No i się na mnie zemścił.

Gargamel

Namącił mi w głowie, a ja namąciłem w poprzedniej notce. Dobrze, że jest BJAB.

Zacznijmy od rzutu stereograficznego. Wzory które stosuję są jak te z Wikipedii, przy obrazku

Niebieskie kwaterniony i zemsta Gargamela

Dodaję tylko jeden wymiar.

Przejście od W,X,Y,Z w czterech wymiarach do x,y,z w trzech wymiarach jest dane formułami

x = X/(1-W), y = Y/(1-W), z = Z/(1-W).

Biegun z którego rzutujemy to punkt W = 1,X = Y = Z = 0. Przejście odwrotne od x,y,z na sferę jest dane wzorami

W = (r2-1)/(r2+1), X = 2x/(r2+1), Y = 2y/(r2+1), Z = 2z/(r2+1),

gdzie r2 = x2 + y2 + z2.

W poprzedniej notce napisałem jednak

No, nieźle, jak na początek śledztwa to nieźle. By dostać x=y=z=0, musimy mieć X=Y=Z=0. Wtedy z konieczności (norma =1) musi być W=1, lub W = -1. To pierwsze jest niemożliwe, bowiem wtedy mianownik 1-W by się zerował. Zatem W=-1. Czyli nasza 3-wymiarowa sfera leży na 3-wymiarowej przestrzeni na którą rzutujemy. W ten sposób załatwiamy odpowiedź na pytanie „Na jaką trójprzestrzeń rzutujesz w rzucie stereograficznym (na styczną do sfery S^3, czy na przechodzącą przez jej środek)?

Rozumowanie słuszne, wnioskowanie błędne. Z tego, że punkt (W,X,Y,Z)=(-1,0,0,0) po zrzutowaniu ma współrzędne (x,y,z)=(0,0,0) nie wynika jeszcze położenie sfery. Widać natomiast, że przy W=0 (x,y,z)=(X,Y,Z). Czyli to jest właśnie przestrzeń na którą rzutujemy. Nie ma wtedy żadnego zwężania czy rozciągania. Punkty sfery z W=0 leżą na 3-płaszczyźnie na którą rzutujemy.

Odczarowuję złe czary dalej. Zapytał BJAB w komentarzu pod poprzednią notką:

Mam nadzieję, że kiedyś wyjaśnisz skąd biorą się takie piękne rzeczy:
V3P(x,y,z) =(y-xz, -x-yz, (r2-1)/2)

Zabieram się do wyjaśniania. Przy okazji wyjaśni się, że we wzorze powyżej jest błąd.

Przypomnijmy, że pole wektorowe V3P otrzymaliśmy z mnożenia kwaternionów z prawej przez exp(kt) = cos t + k sin t. Niech zatem

q(t) = W(t)+iX(t)+jY(t)+kZ(t) = q exp(kt) = (W+iX+jY+kZ) (cos t + k sin t)

Wymnażając, korzystając z własności mnożenia kwaternionów, porównując lewą i prawą stronę dostajemy

W(t) =cos(t) W – sin(t) Z

X(t) = cos(t) X + sin(t) Y

Y(t) = cos(t) Y – sin(t) X

Z(t) = cos(t) Z + sin(t) W

Przy danym (W,X,Y,Z) to jest trajektoria przechodzące przez ten punkt przy t=0.

Bierzemy teraz punkt (x,y,z). Chcemy znaleźć trajektorię przechodzącą przez ten punkt, jako obraz stereograficzny trajektorii kwaternionowej danej równaniami wyżej. No to bierzemy W,X,Y,Z dane wzorami z rzutu stereograficznego:

W = (r2-1)/(r2+1), X = 2x/(r2+1), Y = 2y/(r2+1), Z = 2z/(r2+1)

Teraz tworzymy W(t),X(t),Y(t),Z(t). I z tego bierzemy rzut stereograficzny

x(t) = X(t)/(1-W(t)), y(t) = Y(t)/(1-W(t)), z(t) = Z(t)/(1-W(t))

By dostać pole wektorowe musimy obliczyć pochodne x'(0),y'(0),z'(0). Zauważmy, że mamy W'(0) = -Z, X'(0) = Y, Y'(0) = -X, Z'(0) = W. Trzeba teraz wziąć formułę na pochodną ilorazu. W ten sposób otrzymujemy (będę pisał X' etc zamiast X'(0))

x' = X'/(1-W) + W'X/(1-W)2 = y – zx

y' = Y'/(1-W) +W'Y/(1-W)2 = -x – zy

z' = Z'/(1-W)+W'Z/(1-W)^2 = W/(1-W)-z2

Ale skoro W = (r2-1)/(r2+1), to W/(1-W) = (r2-1)/2

Zatem

z' = (r2-1)/2 -z2.

W poprzedniej azraelowej notce zapomniałem odjąć z2. I stąd wszystko się zawaliło. Teraz już mamy jak trzeba. Możemy kontynuować.

Jednak bezpieczniej odłożyć rzecz do jutra. I tak zrobimy.

Niebieskie kwaterniony i zemsta Gargamela

Skomentuj Obserwuj notkę Napisz notkę Zgłoś nadużycie
NEWSY - TOP 5

O mnie

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki.

Katalog SEO Katalog StronRanking i toplista blogуw i stron

Najlepsze Blogi Katalog blogów. Najlepsze blogi. world map hits counter
map counter

Życie jest religią.
Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem.
Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone.
Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić.
Dla tych ludzi świat zgaśnie.
Staną się dokładnie tym co dali życiu.
Staną się jedynie snem w "przeszłości".
Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości"



Lista wszystkich wpisów

 

Ostatnie notki

Obserwowane blogi

Najpopularniejsze notki

Ostatnie komentarze

  • "Albowiem, nabycie gadżetu, nieważnejak wymarzonego, który wyszedł z produkcji - to gra w...
  • @tichy Aktualnie czy tam Gregg Krech, "The Art of Taking Action Lessons from Japanese...
  • @deda "A ponoć podjęcie decyzji, co się będzie mierzyć, powoduje jakieś zmiany w...

Tematy w dziale Technologie