6 obserwujących
21 notek
15k odsłon
  192   0

Przestrzeń liniowa i algebra liniowa - zastosowania w fizyce.

 Przestrzeń liniowa i algebra liniowa w fizyce  - wybrane problemy

Stosowane modele matematyczne zjawisk fizycznych są w pierwszym (najbardziej znaczącym )

przybliżeniu, modelami liniowymi. Świat (taki się zadaje ) jest liniowy, a nieliniowości są w większości

przypadków, albo pomijalne małe, albo mogą być uwzględnione poprzez dopisanie odpowiedniego członu

do równania (modelu ) liniowego.

Nic dziwnego, że taka liniowość ma swoje odzwierciedlenie w zastosowaniu fizycznym struktur liniowych.

Takimi strukturami są w pierwszej i głównej kolejności przestrzeń liniowa i algebra liniowa budowana

nad taką przestrzenią. W tym kontekście warto wspomnieć, że zarówno przestrzeń mechaniki newtonowskiej

tj. przestrzeń Euklidesa E3, jak i przestrzeń mechaniki relatywistycznej - przestrzeń Minkowskiego M4 - są 

przestrzeniami liniowymi  (z metryką ). Przestrzenią liniową ( zespoloną, unitarną ) jest tez przestrzeń mechaniki

kwantowej - przestrzeń Hilberta.

Niniejszy tekst powstał w oparciu o podrozdział A.1 książki ( i stanowi jego rozszerzenie )  :

"Mechanika kwantowa. Wprowadzenie na przykładzie fotonów" - A. I. Lwowskij   

i stanowi pewien szerszy zarys wprowadzenia do zastosowania algebry liniowej w fizyce teoretycznej.

Można m.in. dokonać porównania struktur liniowych w ramach fizyki klasycznej i kwantowej.

( w szczególności zapoznać się z afinicznymi własnościami przestrzeni Minkowskiego )        

www.fizyka-teoretyczna.pl/matfiz/Przestrzen_liniowa_w_fizyce.pdf

        Ogólny spis tematów poruszonych w przedstawionym tekście                                      .
1. Aksjomaty przestrzeni liniowej V (wektorowej ) nad zadanym ciałem skalarów K
    ( liczb rzeczywistych R lub zespolonych C – pojecie wektora v
    1.1 liniowa zależność zbioru wektorów – baza przestrzeni wektorowej ( e1, ... , en ), wymiar przestrzeni liniowej
          dim V = n   
    1.2 Rozkład wektora w zadanej bazie v = a1 e1 + ... an en
    1.3 Zamiana bazy, wzory przekształcenia dla wektorów bazy i współrzędnych wektora.
    1.4 Orientacja przestrzeni liniowej. Podprzestrzeń, danej przestrzeni liniowej, suma prosta przestrzeni
         liniowych V1 + V2

2. Odwzorowania liniowe.
    2.1 Forma liniowa – pojęcie kowektora.
    2.2 Baza i kobaza. Rozkład kowektora w kobazie. Wzory dla przekształceń kowektorów.
    2.3 Forma biliniowa. Iloczyn skalarny. Przestrzeń liniowa z określonym w niej iloczynem skalarnym.
    2.4 Pojęcie metryki (pseudometryki). Przestrzeń Euklidesa. Przestrzenie pseudoeuklidesowe.
          Przestrzeń symplektyczna.
   2.5 Transformacje ortogonalne.

3. Przestrzenie afiniczne.

4. Przestrzeń liniowa nad ciałem liczb zespolonych.
    4.1 Formy hermitowskie.
    4.2 Przestrzeń unitarna.
    4.3 Przestrzeń Banacha, przestrzeń Hilberta.

5. Algebra liniowa – ogólne struktury algebraiczne.
     5.1 Iloczyny wewnętrzne i zewnętrzne. Iloczyn tensorowy.
     5.2 Macierze odwzorowań liniowych. Operatory.
     5.3 Funkcje operatorów.
     5.4 Komutatory.
     5.5 Rozkład spektralny  

W tekście podano odsyłacze do tematów pozostających poza głównym tematem m.in. ogólnej teorii algebr

liniowych asocjatywnych - przemiennych lub nieprzemiennych, lub algebr budowanych na przestrzeni V, np.

algebry tensorowej, algebry symetrycznej, algebry zewnętrznej (Grassmanna ) itp.

Lubię to! Skomentuj2 Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Salon24 news

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie