waligora waligora
972
BLOG

Symeria równań Maxwella - tematy do dyskusji

waligora waligora Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 44

Tematy do dyskusji - symetria równań Maxwella.

Myśle, że jako wstęp możemy przyjąc poniższy cytat.
( w dyskusji możemy posługiwac się w miarę luźnym podejsciem do pojęc matematycznych typu : grupa, algebra, generatory itp. ; w każdej chwili i w miarę potrzeb możemy je uściślic )    

"Пуанкаре показал, что уравнения Максвелла остаются
инвариантными относительно преобразований Лоренца и при наличии токов и зарядов. Пуанкаре впервые установил важнейшее свойство этих преобразований — их групповую структуру.
В знаменитой работе Эйнштейна [140], сыгравшей выдающуюся роль в истории современного естествознания, также было установлено, что уравнения Максвелла с токами и зарядами инвариантны относительно преобразований, найденных Лоренцем. На основе свойств симметрии уравнения Максвелла Лоренцем, Пуанкаре и
Эйнштейном были созданы основы релятивистской теории"

Tutaj juz pojawia się pierwszy punkt zaczepienia - symetrie równań Maxwella stanowią punkt wyjscia do zbudowania teorii relatywistycznej (STW). Dla potrzeb dyskusji możemy ograniczyc sie do symetrii rownania falowego, zadawanego przez standardowo rozumiany operator d'Alemberta. Jak wiadomo symetrie tego równania są symetriami czasoprzestrzeni (CP) - struktura stożkowa czasoprzestrzeni.
Powstaje zatem kwestia pierwsza, dlaczego akurtat takie równanie ?
Jakie są jego własnosci - tj. jaka jest jego struktura algebraiczna ?
Jakie mogą byc jego uogólnienia ?
( kontekst kwantowej teorii pola - operatory różniczkowe i pola na jakie działają )
Równanie falowe w przestrzeniach zakrzywionych - operator Beltramiego-Laplace'a i jego własnosci.
( przypadki szczególne równanie falowe w przestrzeniach o stałej krzywiźnie )
  
Dalej :
"Следующий важнейший шаг в исследовании симметрии уравнений Максвелла сделали Бейтмен [151] и Канингхем [172], которые обнаружили, что эти уравнения инвариантны относительно преобразовании инверсии откуда следует инвариантность относительно конформных преобразований.
Бейтмен по существу доказал, что инвариантность относительно конформной группы определяет максимальную симметрию уравнений Максвелла с токами и зарядами [151]."

Temat drugi - odpowiednia grupa to jak czytamy grupa konforemna jest tutaj grupa maksymalną, ale tylko w klasie pewnej algebry.

Уравнения Максвелла инвариантны относительно 15-мерной алгебры Ли, изоморфной алгебре Ли конформной группы. Базисные элементы этой а. и. могут быть выбраны в виде ....

Уравнения Максвелла для электромагнитного  поля в вакууме инвариантны относительно 16-мериой алгебры Ли, базисные элементы которой задаются формулами ...

Итак, симметрия уравнении Максвелла для электромагнитного поля в вакууме оказывается более широкой, чем при наличии токов и зарядов. Это связано с тем обстоятельством, что уравнения
Максвелла включают ток несимметричным образом (из-за отсутствия магнитного заряда). В результате теряется симметрия относительно преобразований Хевисайда — Лармора — Райнича 

Mamy zatem odpowiednio 15 i 16 wymiarową algebrę Liego. Oczywiscie jako podgrupa takich algebr występuje dobrze znana 10 wymiarowa algebra grupy Poincarego.
Zagadnienie do dyskusji - teorie relatywistyczne są raczej zainteresowane tylko podgrupą Poincarego, dlaczego nie wykorzystujemy całej grupy ? A jeśli tak to co możemy powiedziec o prawach zachowania wynikajacych z "nadmiarowych" wzgledem grupy Poincarego generatorów.   

Temat kolejny uogolnienie grupy Poincargo, przykład  :


 Как показано в гл. 1, максимальной (в смысле Ли) группой инвариантности уравнений Дирака и КГФ является 10-параметрическая группа Пуанкаре Р(1, 3). Здесь мы рассмотрим естественное обобщение этой группы на случай пространства с большим числом измерений. Обобщенная группа Пуанкаре Р(1, n) может быть определена как полупрямое произведение групп SO(1, n) и Т, где Т — аддитивная группа

(1 + n)-мерных вещественных векторов, SO(1, n)—связная компонента единицы в группе всех линейных преобразований Т на Т, сохраняющих квадратичную форму... 

Zatem pierwsze uogólnienie - wielowymiarowe grupy Poincarego.
  
Krok kolejny.
"Сравнительно недавно был проведен групповой анализ уравнений Максвелла в рамках классического подхода Ли [36].
При этом было строго доказано, что максимальной локальной группой инвариантности уравнений Максвелла для электромагнитного поля вакууме является 16-параметрическая группа С(1, 3) x Н, где Н —oднопараметрическая подгруппа преобразований Хевнсайда — Лармора — Райнпча (1.3.2).
Однако перечисленные выше преобразования не исчерпывают всех свойств симметрии уравнений Максвелла.
Оказывается, эти уравнения обладают скрытой (пегеометрической) симметрией, несвязанной с преобразованиями независимых переменных [116]. Отличительной чертой этой «новой» симметрии является то обстоя-
обстоятельство, что базисные элементы соответствующей а. и. не принадлежат (как это постулируется в классическом подходе Ли) классу M1, но задаются нелокальными интегро-дпфферепциальпыми
oпepaторами(см. ниже гл. 3).

Dokładniej :
Теорема 3.16. Уравнения Максвелла инвариантны относительно восъмимериой алгебры Ли, изоморфной AGL(2, С). Базис-
Базисные элементы этой алгебры в импульсном представлении могут быть выбраны в виде ...

Теорема 3.18. Для уравнений Максвелла с токами и зарядами существуют двадцать операторов симметрии в классе дифференциальных операторов второго порядка с постоянными матричными
коэффициентами, не принадлежащих обвертывающей алгебре аалгебры АС(1, 3). В представлении ...

Zatem, oprócz symetrii geometrycznych mamy również symetrie wewnetrzne - z czym mozemy je powiązac ?
Jaki jest ich status - czy sa one łamane - kontekst teorii nieabelowych z mechanizmami spontanicznego łamania symetrii ?
Dalsze uogolnienie - teoria Yanga-Millsa i nieabelowe równanie Yanga-Millsa.
 

Wszytskie cytaty pochodzą z ksiażki :
В.И. Фущич, А.Г.Никитин
СИММЕТРИЯ УРАВНЕНИЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Dalsza literatura mozliwa do dopisania, np. wspomniana ksiazka Millera, Olvera, Stephaniego ...

 

waligora
O mnie waligora

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie