Dokonajmy pewnego podsumowania :
Jak powszechnie wiadomo równania Maxwella możemy matematycznie zapisac na różne sposoby.
Historycznie pierwszymi był zapis z użyciem rozpisanych pochodnych odpowiednich pól, później pojawia się zapis z użyciem operatorów pól lub odpowiednich całek, dalej mamy zapis z użyciem form różniczkowych, sformułowanie geometryczne, zapis zespolony, zapis z użyciem wielowektorów, czy też różnorodnych algebr tensorowych, no i standardowo zapis poprzez odpowiedni lagranżjan lub hamiltonian.
( czy coś jeszcze ? )
Na każdym z tych etapów ujawniają się odpowiednie możliwości uogólnień - zatem wprowadzanie takowych nie jest samą sztuką dla sztuki.
W pierwszej kolejności równania te okazały się byc inwariantne względem grupy symetrii czasoprzestrzennych, innnymi słowy wydawałoby się iż są one w jakiś sposób powiązane z metryką czasoprzestrzeni ( może nawet ją determinują ?)
Taki fakt zapewne pobudził do poszukiwania dalszych symetrii i głębszych analogicznych związków.
( rozszerzenia grupy Poincarego , symetrie wewnętrzne )
Związek ten jednakże wydaje się byc stosukowo luźny - te same symetrie posiada bowiem i rownanie falowe tj. równanie propagacji cząstki bezmasowej o określonym spinie, zatem elektrodynamika nie wydaje się tutaj jakoś wyróżniona.
W drugiej kolejności w zapisie jawnie lorentzowsko-niezmienniczym ujawnia się rola 4-potencjału i możliwości jego cechowania. Zatem oprócz klasycznie rozumianej zasdy względnosci w elektrodynamice przejawia się rownież względnośc cechowania.
Dalej okazuje się, że rola potencjału jest kluczowa ( to potencjał jest obecny w równaniu Schrödingera ), odpowiednią wielkoscią opisu pól EM staje się holonomia. A jak holonomia to naturalnym wydaje się zapis w z użyciem teorii wiązek włóknistych ( holonomia - koneksja - potenjały ).
( Tutaj oczywiscie ujawnia się możliwośc nietrywialnych unifikacji na z teorią grawitacji )
A jak geometria to pojawiają się również zagadnienia topologiczne - zatem równania Maxwella mówią nie tylko o strukturze metrycznej ( w określony sposób są one związne z metryką CP ), ale i o topologicznej.
- patrz teoria homologii i kohomologii de Rhama i jej związki z formami różniczkowymi - patrz zapis równań Maxwella z użyciem takich form. ( chociaż pewne związki ujawnia już zapis całkowy tych równań )
Pytanie kluczowe - czy równania Maxwella nie mówią czegoś wiecej o topologii tj. czy możemy spodziewac się tutaj analogu pewnej zasady względności dla określonej wielkosci topologicznej ?
( patrz - fazy geometryczne )
