4 obserwujących
17 notek
14k odsłon
1201 odsłon

Układy dynamiczne - chaos i determinizm

Wykop Skomentuj1

 

 W ostatnim tekście ( Układy hamiltonowskie – całkowalność i znacznie więcej ) poruszyłem temat układów hamiltonowskich, a konkretniej zagadnienie ich całkowalności i jego sformułowanie z użyciem algebr Liego.

Jak się okazuje jest to podejście bardzo użyteczne i stanowi nietrywialną alternatywę dla podejścia geometrycznego dla badania całkowalności układów hamiltonowskich.

Układy hamiltonowskie stanowią bardzo szeroką i różnorodną klasę układów fizycznych (np. równania Maxwella można sformułować jako równania Hamiltona ), nie wyczerpują one jednakże całego bogactwa możliwości. Układy całkowalne ( rozwiązywalne w kwadraturach ) jak się okazuje stanowią podzbiór o niewielkiej mocy w całym zbiorze układów hamiltonowskich. Układy całkowalne to oczywiście te „porządne” i miłe do analizy, tak naprawdę chcielibyśmy aby wszystkie spotykane układy były takowymi – wtedy wszystkim żyłoby się lepiej. Niestety przyroda bywa złośliwa i mimo wysiłków, a konkretniej mimo licznych uproszczeń modelowych wciąż układy całkowalne stanowią nikłą (chociaż dla większości modeli, wystarczającą ) klasę układów. Mało tego okazuje się, że układy hamiltonowskie mimo całego swego bogactwa ( przykładowo równania Maxwella mogą być sformułowane jako równania Hamiltona ) nie są nawet wierzchołkiem przysłowiowej góry lodowej możliwości modeli procesów fizycznych.

Bardziej ogólne sformułowanie matematycznych modeli takich procesów realizuje się z użyciem pojęcia układu dynamicznego ( w skrócie UD ). Układ dynamiczny w ujęciu ogólnym jest zadany poprzez operator ewolucji czasowej pewnego określonego obiektu matematycznego np. liniowy operator różniczkowy działający na wektor (stanu).

Układ dynamiczny może być liniowy lub nieliniowy, ciągły dyskretny, stochastyczny lub deterministyczny.

Wprowadzenie do tego tematu można znaleźć w tłumaczonej właśnie książce

( jak na razie kilka pierwszych rozdziałów ):

 „Wykłady z dynamiki nieliniowej” - W. S. Aniszczenko, T. E. Wadiwasowa

( dostępna na moim chomiku lub na życzenie )

( w języku polskim są dostępne np. książki W. Szlenka i A. Pelczara, nie są one jednakże przystępne dla popularnego czytelnika )

 Jak się okazuje przyroda realizuje raczej modele dynamiczne nieliniowe, wbrew naszym mniemaniom i uproszczeniom. Oczywiście układy liniowe są prostsze do analizy i bardziej popularne, jednakże układy nieliniowe są bliższe rzeczywistości. Co prawda wiele zjawisk w pierwszym przybliżeniu (zazwyczaj wystarczającym do np. celów inżynierskich ) może być opisana modelami liniowymi, ale tak naprawdę stanowią one raczej wyjątek niż regułę. 

Analizą ogólnych własności nieliniowych układów dynamicznych zajmuje się gałąź fizyki matematycznej nazywana dynamiką nieliniową.

Szczególną klasą nieliniowych układów dynamicznych stanowią układy chaotyczne.

Ogólnie na ten temat można przeczytać w tekście pt. Metody matematyczne i modele dynamiki nieliniowej

http://fizyka-teoretyczna.republika.pl/fizyka/Metodymatematyczne.zip

( w którym w sczególnosci podkreślono role modeli nieliniowych )

 Teoria nieliniowych (chaotycznych ) układów dynamicznych swymi korzeniami sięga ku jakościowej teorii równań różniczkowych i stamtąd bierze większość głównych pojęć np. : zbiór graniczny, rozmaitość stabilna i niestabilna, stabilność trajektorii, klasyfikacja punktów stałych, separatysa, atraktor, bifurkacja, scenariusz przejścia do chaosu itp.

Od strony matematycznej teorię dynamiki nieliniowej omawia np. książka :

„Nowe metody dynamiki chaotycznej” - N. A. Magnickij, S. W. Sidorow

 ( dostępna na moim chomiku lub na życzenie )

 Z punktu widzenia moich dalszych celów jest podkreślenie faktu iż modele liniowe i deterministyczne stanowiąc podstawę modeli fizycznych nie są adekwatne dla zjawisk naturalnych, pośród których typowymi są zjawiska nieliniowe.

Drugim ważnym faktem jest związek zjawisk nieliniowych o zachowaniu chaotycznym z procesami stochastycznymi.Okoliczności taką chciałbym podkreślic dwoma ( byc moze wybitymi z kontekstu całej pracy ) cytatami ( pochodzą one z tekstu pt. „Metody matematyczne i modele dynamiki nieliniowej” ) : 

Cytat 1 :

5.10 Chaos deterministyczny – matematyczna egzotyka czy też typowa własność świata

materialnego ?

Na drodze elementarnych rozważań doszliśmy do wniosku o możliwości istnienia reżimu chaosu deterministycznego w nieliniowych układach z dysypacją energii. We współczesnej nauce taki efekt jest umotywowany ściśle teoretycznie i zadowalająco potwierdzony eksperymentalnie. Może jednakże pojawić się pytanie, czy taki fenomen nie jest, li tylko pewna matematyczną egzotyką, w tym sensie, że jego realizacja jest teoretycznie możliwa, ale praktycznie mało prawdopodobna ?

Nie i jeszcze raz nie ! Po odkryciu zjawiska chaosu deterministycznego, dokładnego zrozumienia jego własności i opracowaniu metod jego diagnostyki, chaos został ujawniony praktycznie we wszystkich obszarach współczesnej nauki :

Wykop Skomentuj1
Ciekawi nas Twoje zdanie! Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Salon24 news

Co o tym sądzisz?

Inne tematy w dziale Technologie