Układy dynamiczne - chaos i determinizm

W ostatnim tekście ( Układy hamiltonowskie – całkowalność i znacznie więcej ) poruszyłem temat układów hamiltonowskich, a konkretniej zagadnienie ich całkowalności i jego sformułowanie z użyciem algebr Liego.

Jak się okazuje jest to podejście bardzo użyteczne i stanowi nietrywialną alternatywę dla podejścia geometrycznego dla badania całkowalności układów hamiltonowskich.

Układy hamiltonowskie stanowią bardzo szeroką i różnorodną klasę układów fizycznych (np. równania Maxwella można sformułować jako równania Hamiltona ), nie wyczerpują one jednakże całego bogactwa możliwości. Układy całkowalne ( rozwiązywalne w kwadraturach ) jak się okazuje stanowią podzbiór o niewielkiej mocy w całym zbiorze układów hamiltonowskich. Układy całkowalne to oczywiście te „porządne” i miłe do analizy, tak naprawdę chcielibyśmy aby wszystkie spotykane układy były takowymi – wtedy wszystkim żyłoby się lepiej. Niestety przyroda bywa złośliwa i mimo wysiłków, a konkretniej mimo licznych uproszczeń modelowych wciąż układy całkowalne stanowią nikłą (chociaż dla większości modeli, wystarczającą ) klasę układów. Mało tego okazuje się, że układy hamiltonowskie mimo całego swego bogactwa ( przykładowo równania Maxwella mogą być sformułowane jako równania Hamiltona ) nie są nawet wierzchołkiem przysłowiowej góry lodowej możliwości modeli procesów fizycznych.

Bardziej ogólne sformułowanie matematycznych modeli takich procesów realizuje się z użyciem pojęcia układu dynamicznego ( w skrócie UD ). Układ dynamiczny w ujęciu ogólnym jest zadany poprzez operator ewolucji czasowej pewnego określonego obiektu matematycznego np. liniowy operator różniczkowy działający na wektor (stanu).

Układ dynamiczny może być liniowy lub nieliniowy, ciągły dyskretny, stochastyczny lub deterministyczny.

Wprowadzenie do tego tematu można znaleźć w tłumaczonej właśnie książce

( jak na razie kilka pierwszych rozdziałów ):

„Wykłady z dynamiki nieliniowej” - W. S. Aniszczenko, T. E. Wadiwasowa

( dostępna na moim chomiku lub na życzenie )

( w języku polskim są dostępne np. książki W. Szlenka i A. Pelczara, nie są one jednakże przystępne dla popularnego czytelnika )

Jak się okazuje przyroda realizuje raczej modele dynamiczne nieliniowe, wbrew naszym mniemaniom i uproszczeniom. Oczywiście układy liniowe są prostsze do analizy i bardziej popularne, jednakże układy nieliniowe są bliższe rzeczywistości. Co prawda wiele zjawisk w pierwszym przybliżeniu (zazwyczaj wystarczającym do np. celów inżynierskich ) może być opisana modelami liniowymi, ale tak naprawdę stanowią one raczej wyjątek niż regułę.

Analizą ogólnych własności nieliniowych układów dynamicznych zajmuje się gałąź fizyki matematycznej nazywana dynamiką nieliniową.

Szczególną klasą nieliniowych układów dynamicznych stanowią układy chaotyczne.

Ogólnie na ten temat można przeczytać w tekście pt. Metody matematyczne i modele dynamiki nieliniowej

http://fizyka-teoretyczna.republika.pl/fizyka/Metodymatematyczne.zip

( w którym w sczególnosci podkreślono role modeli nieliniowych )

Teoria nieliniowych (chaotycznych ) układów dynamicznych swymi korzeniami sięga ku jakościowej teorii równań różniczkowych i stamtąd bierze większość głównych pojęć np. : zbiór graniczny, rozmaitość stabilna i niestabilna, stabilność trajektorii, klasyfikacja punktów stałych, separatysa, atraktor, bifurkacja, scenariusz przejścia do chaosu itp.

Od strony matematycznej teorię dynamiki nieliniowej omawia np. książka :

„Nowe metody dynamiki chaotycznej” - N. A. Magnickij, S. W. Sidorow

( dostępna na moim chomiku lub na życzenie )

Z punktu widzenia moich dalszych celów jest podkreślenie faktu iż modele liniowe i deterministyczne stanowiąc podstawę modeli fizycznych nie są adekwatne dla zjawisk naturalnych, pośród których typowymi są zjawiska nieliniowe.

Drugim ważnym faktem jest związek zjawisk nieliniowych o zachowaniu chaotycznym z procesami stochastycznymi.Okoliczności taką chciałbym podkreślic dwoma ( byc moze wybitymi z kontekstu całej pracy ) cytatami ( pochodzą one z tekstu pt. „Metody matematyczne i modele dynamiki nieliniowej” ) :

Cytat 1 :

5.10 Chaos deterministyczny – matematyczna egzotyka czy też typowa własność świata

materialnego ?

Na drodze elementarnych rozważań doszliśmy do wniosku o możliwości istnienia reżimu chaosu deterministycznego w nieliniowych układach z dysypacją energii. We współczesnej nauce taki efekt jest umotywowany ściśle teoretycznie i zadowalająco potwierdzony eksperymentalnie. Może jednakże pojawić się pytanie, czy taki fenomen nie jest, li tylko pewna matematyczną egzotyką, w tym sensie, że jego realizacja jest teoretycznie możliwa, ale praktycznie mało prawdopodobna ?

Nie i jeszcze raz nie ! Po odkryciu zjawiska chaosu deterministycznego, dokładnego zrozumienia jego własności i opracowaniu metod jego diagnostyki, chaos został ujawniony praktycznie we wszystkich obszarach współczesnej nauki :

w fizyce, radiotechnice, chemii, biologii, mechanice, ekonomice i innych.

Może dalej pojawić się pytanie – dlaczego zatem taki typowy reżim funkcjonowania UD został zauważony i przebadany tak późno ? Na to pytanie można odpowiedzieć następująco.

Chociaż teoretycznie możliwa liczba realnych układów materialnych i procesów jest ogromna, istnieje szeroka klasa zjawisk która opisywana być może wystarczająco w przybliżeniu liniowym lub quasi liniowym.

Liniowa teoria UD i procesów jest opracowana wystarczająco dobrze i pozwala na wyczerpujący ich opis, który jest w większości przypadków bardzo dobrze zgodny z danymi eksperymentalnymi. Natomiast chaos deterministyczny jest zjawiskiem obecnym wyłącznie w układach nieliniowych. A jeśli chodzi o analizie takich układów, to sprawa wygląda zupełnie inaczej. Póki co nie istnieje np. ogólna teoria rozwiązywania nieliniowych rr. Analiza dynamiki układów nieliniowych cały czas wymaga od badacza pewnej, sztuki, wprawy, podejście niestandardowego i twórczego i musi być ono inne dla każdego indywidualnego przypadku.

Właśnie brak ścisłych narzędzi teoretycznych które mogłyby być zastosowane do analizy układów nieliniowych powstrzymywało odkrycie i zrozumienie takiego uniwersalnego zjawiska jakim jest chaos deterministyczny.

Eksperymentatorzy jednakże już dawno zetknęli się z takim zjawiskiem, jednakże ograniczoność metod teoretycznych, która poniekąd wiązała się z wpływem myślenia „liniowego”, powodowała błędność w ocenie i podejściu do otrzymywanych wyników. Wnioskowano np. iż szumopodobne drgania są spowodowane albo działaniem fluktuacji, albo ogromną liczbą stopni swobody danego układu, albo niesprawnością aparatury pomiarowej.

Obecnie sytuacja znacznie się zmieniła. Nasze życie coraz bardziej domaga się ilościowego uwzględnienia takich faktów jak superwysoka gęstość, superwysoka temperatura, ciśnienie, superwysokie prędkości czy tez natężenia pól fizycznych.

A jak wiadomo uwzględnienie takich faktów wymaga podejścia zasadniczo nieliniowego do opisu procesów ewolucyjnych.

Takie procesy są modelowane i analizowane z pomocą komputerów, dla których nieliniowość modeli nie stanowi przeszkody dla ich szczegółowej analizy. Właśnie podczas takich analiz okazało się, że reżim chaotyczny funkcjonowania UD jest raczej prawidłowością niż wyjątkiem.

Cytat 2 :

VII. Miara inwariantna. Entropia ergodyczność i mieszanie w układach dynamicznych.

Rozbijmy obszar przestrzeni fazowej w którym zawarty jest atraktor chaotyczny, na komórki i dla każdej z nich zbudujmy stosunek :

wi(t) = czas, jaki spędziła trajektoria w i-tej komórce / całkowity czasu ruchu.

Okazuje się, że przy t → nieskończonośc, taki stosunek ten dąży do pewnej konkretnej dla zadanej komórki wielkości, przy czym odchylenie tej wartości od wartości średniej zmniejsza się wraz ze wzrostem t.

Przypomina to dążenie częstości zdarzenia przypadkowego do jego prawdopodobieństwa przy zwiększeniu liczby prób, co jest znane z klasycznej definicji prawdopodobieństwa.

Pojawia się zatem określona analogia pomiędzy teorią prawdopodobieństwa i teorią układów dynamicznych – zbiorowi w przestrzeni fazowej możemy przyporządkować pewną liczbę, mającą sens analogiczny do pojęcia prawdopodobieństwa.

I podobnie jak w teorii prawdopodobieństwa wprowadza się miarę na przestrzeni probabilistycznej ( w przypadku przestrzeni dyskretnej będzie to prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego, a w przypadku przestrzeni ciągłej – gęstość prawdopodobieństwa ), możemy określić pewną miarę na przestrzeni fazowej, związanej z układem dynamicznym.

Miara taka została nazwana miara inwariantną. W danym przypadku jest ona inwariantna przy czasowym przesunięciu trajektorii fazowych – przejściu od x(t) do x(t + t' ). Miara taka pozwala zbiorowi w przestrzeni fazowej przyporządkować pewną liczbę, którą można interpretować jako prawdopodobieństwo tego, że trajektoria odwiedzie dany zbiór.

Zdefiniowawszy w taki sposób pojęcie prawdopodobieństwa, możemy teraz zastosować do układów dynamicznych metody statystyczne, np. wprowadzić pojęcie wielkości średniej, dyspersji, momentów rozkładu, korelacji, entropii itp.

Dla układów dynamicznych z zachowaniem regularnym, oczywiście takie postępowanie nie ma zbytniego sensu, ale w przypadku układów przejawiających zachowanie chaotyczne statystyka okazuje się być użytecznym narzędziem.

Oprócz tego otrzymujemy przy tym naturalny sposób opisu zachowania układów dynamicznych na które działa zaburzenie przypadkowe – szum. Należy zauważyć, że miara inwariantna układu dynamicznego nie jest określona jednoznacznie, może być ona związana zarówno ze zbiorem stabilnym w sensie Lapunowa jak i zbiorem niestabilnym.

„

W tym miejscu chciałbym nawiązać do wcześniejszego mojego tekstu pt.

Jaki jest w istocie związek fizyki i matematyki ?

w którym starałem się w szczególności zwrócić uwagę na sposób budowania modeli matematycznych zjawisk fizycznych. Wysunąłem tam tezę mówiącą, że w istocie każdy wieloparametrowy i szeroko zakresowy, model matematyczny zjawiska fizycznego będzie modelem nieliniowym o rozwiązaniach chaotycznych.

Niniejszy notka ma w pewien sposób uzasadnić tamto stwierdzenie.

W dalszej kolejności postaram się wyprowadzić dalsze konsekwencje takiego faktu.

Obecnie jedynie chciałbym zaznaczyć związek modeli chaotycznych ( deterministycznych w szczególności ) z procesami stochastycznymi i pozostawić jako pytanie otwarte ( do dalszej analizy ) następującą kwestię :

Skoro tak naprawdę każdy bogaty model matematyczny zjawisk fizycznych ma jako dominujące rozwiązania chaotyczne, to czy sama przyroda nie jest u swych podstaw chaotyczna ?

A jeśli tak, to jaki jest prawdziwy status modeli matematycznych i samej matematyki w fizyce ?