4 obserwujących
17 notek
14k odsłon
513 odsłon

Czy istnieje jeden, uniwersalny scenariusz przejścia do chaosu ?

Wykop Skomentuj

 Jak ogólnie wiadomo w ramach dynamiki nieliniowej możemy wyróżnić bardzo szeroką klasę układów dynamicznych przejawiających zachowanie chaotyczne  

( Zobacz np. tekst pt. „Metody matematyczne i modele dynamiki nieliniowej” )

Kluczowym pytaniem jakie powstaje w związku z tego rodzaju układami jest pytanie, o konkretny sposób w jaki układ o zachowaniu regularnym przechodzi do reżimu zachowania chaotycznego.

( standardowym przejawem takiego zachowania jest pojawienie się atraktora - choatycznego i/lub dziwnego )

Znamy (póki co ) kilka rodzajów scenariuszy przejścia do chaosu, pośród których najpopularniejszym jest scenariusz podwojenia okresu – scenariusz Feigenbauma ( rozszerzony w ramach twierdzenia Szarkowskiego ). Jednakże pośród całej różnorodności układów dynamicznych przejawiających zachowania chaotyczne możemy obserwować i inne scenariusze np. scenariusz zgodny z twierdzeniem KAM dla układów hamiltonowskich (naruszenie torusów inwariantnych ), czy też scenariusz Pomo- Mannewille’a. 

Z tego co nam obecnie wiadomo, to kluczowym dla całego tego zagadnienia jest pojęcie bifurkacji.

Wszelkie szczegóły w całej swej ogólności nie są jak na razie znane i stanowią aktualnie szerokie pole dla analiz teoretycznych i weryfikacji np. numerycznej. A wiele z zagadnień wciąż pozostaje "ziemią nieznaną".

Czytelników, którzy są zainteresowani w/w "klimatami", chciałbym zaprosic do lektury poniżej wymienionej książki, która podejmuje całe spektrum problemów dynamiki nieliniowej :

„Nowe metody dynamiki chaotycznej” - N. A. Magnickij, S. W. Sidorow

Rosyjska Akademia Nauk       Instytut Analizy Systemowej           

Moskwa Editoriał 2004

Tłumaczenie własne dostępne pod poniższym linkiem :

fizyka-teoretyczna.republika.pl/tlumaczenia/Nowemetody.zip

( obfite cytaty z w/w książki wykorzystałem już w tekście

„Metody matematyczne i modele dynamiki nieliniowej” )

Z przedmowy autorów : 

Niniejsza książka została napisana na podstawie badań, prowadzonych w ostatnich latach pod kierownictwem jednego z jej autorów w laboratorium dynamiki nieliniowej i chaotycznej Instytutu analizy systemowej RAN, oraz na katedrze nieliniowych układów dynamicznych wydziału matematyki obliczeniowej i cybernetyki Uniwersytetu Moskiewskiego imienia M. W. Łomonosowa.

W książce tej autorzy przedstawiają swój, w wielu przypadkach odmienny od tradycyjnego punkt widzenia na zasady formowania scenariuszy pojawiania się i sposoby kierowania chaotycznymi reżimami w nieliniowych układach dysypatywnych, opisywanych autonomicznymi rrz i rrc z opóźnionym argumentem.

Wszystkie wyniki teoretyczne oraz wnioski z nich wypływające zostały potwierdzone przez liczne przykłady, ilustracje i obliczenia numeryczne.

Książka składa się z sześciu rozdziałów. W pierwszym z nich przedstawiono podstawowe pojęcia, definicje i twierdzenia związane z teorią rrz, wymagane dla zrozumienia treści dalej przedstawionego materiału.

Drugi rozdział poświęcono opisaniu podstawowych bifurkacji punktów osobliwych, cykli granicznych, torusów i nieregularnych atraktorów układów nieliniowych rrz. Szczególną uwagę poświęcono mało analizowanym do tej pory nielokalnym bifurkacjom konturów homoklinicznych i heteroklinicznych, jak również różnorodnym kaskadom bifurkacji zarówno regularnych jak i nieregularnych atraktorów.

W rozdziale trzecim na podstawie przeprowadzonych obliczeń numerycznych i wielu ilustracji pokazano, że wszystkie klasyczne autonomiczne dysypatywne nieliniowe układy rrz posiadają jeden, ogólny scenariusz przejścia do chaosu poprzez kaskady bifurkacji podwojenia cyklu, subharmoniczne a następnie homokliniczne kaskady miękkich bifurkacji stabilnych cykli granicznych. Taki scenariusz opisuje teorię dynamicznego chaosu w nieliniowych układach rrz, które zostały opracowane przez jednego z autorów i zostały przedstawione w rozdziale czwartym.

Pokazano tam, że wszystkie kreowane w taki sposób nieregularne atraktory, nazwane syngularnymi, należą do domknięcia niestabilnej rozmaitości syngularnego cyklu granicznego, dającego początek wszystkim kaskadom miękkich bifurkacji.

W rozdziale piątym pokazano, że taki scenariusz przejścia do chaosu ma miejsce również w nieskończenie wymiarowych układach rrc typu reakcja-dyfuzja, jak również w rrz z opóźnionym argumentem.

W rozdziale szóstym rozpatrzono klasyczne jak i oryginalne metody rozwiązywania podstawowego problemu kierowania chaosem, polegającego na ujawnieniu i stabilizacji niestabilnych cykli, nieliniowych układów rr, posiadających reżim dynamiki chaotycznej.

Układy nieliniowych rr są przypadkiem szczególnym obszernej klasy nieliniowych układów dynamicznych, do których zaliczamy również różnorodne nieliniowe algebraiczne, różnicowe, całkowe, funkcjonalne i abstrakcyjne równania operatorowe. W związku z tym obecnie zupełnie naturalnym wydaje się jednolite geometryczne podejście do analizy nieliniowych układów dynamicznych, pozwalające rozpatrywać z jednej pozycji układy nieliniowe, opisywane zarówno przez odwzorowania dyskretne, jak rrz i rrc [1 – 10].

Wykop Skomentuj
Ciekawi nas Twoje zdanie! Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Salon24 news

Co o tym sądzisz?

Inne tematy w dziale Technologie