Jak ogólnie wiadomo w ramach dynamiki nieliniowej możemy wyróżnić bardzo szeroką klasę układów dynamicznych przejawiających zachowanie chaotyczne  

( Zobacz np. tekst pt. „Metody matematyczne i modele dynamiki nieliniowej” )

Kluczowym pytaniem jakie powstaje w związku z tego rodzaju układami jest pytanie, o konkretny sposób w jaki układ o zachowaniu regularnym przechodzi do reżimu zachowania chaotycznego.

( standardowym przejawem takiego zachowania jest pojawienie się atraktora - choatycznego i/lub dziwnego )

Znamy (póki co ) kilka rodzajów scenariuszy przejścia do chaosu, pośród których najpopularniejszym jest scenariusz podwojenia okresu – scenariusz Feigenbauma ( rozszerzony w ramach twierdzenia Szarkowskiego ). Jednakże pośród całej różnorodności układów dynamicznych przejawiających zachowania chaotyczne możemy obserwować i inne scenariusze np. scenariusz zgodny z twierdzeniem KAM dla układów hamiltonowskich (naruszenie torusów inwariantnych ), czy też scenariusz Pomo- Mannewille’a. 

Z tego co nam obecnie wiadomo, to kluczowym dla całego tego zagadnienia jest pojęcie bifurkacji.

Wszelkie szczegóły w całej swej ogólności nie są jak na razie znane i stanowią aktualnie szerokie pole dla analiz teoretycznych i weryfikacji np. numerycznej. A wiele z zagadnień wciąż pozostaje "ziemią nieznaną".

Czytelników, którzy są zainteresowani w/w "klimatami", chciałbym zaprosic do lektury poniżej wymienionej książki, która podejmuje całe spektrum problemów dynamiki nieliniowej :

„Nowe metody dynamiki chaotycznej” - N. A. Magnickij, S. W. Sidorow

Rosyjska Akademia Nauk       Instytut Analizy Systemowej           

Moskwa Editoriał 2004

Tłumaczenie własne dostępne pod poniższym linkiem :

fizyka-teoretyczna.republika.pl/tlumaczenia/Nowemetody.zip

( obfite cytaty z w/w książki wykorzystałem już w tekście

„Metody matematyczne i modele dynamiki nieliniowej” )

Z przedmowy autorów : 

Niniejsza książka została napisana na podstawie badań, prowadzonych w ostatnich latach pod kierownictwem jednego z jej autorów w laboratorium dynamiki nieliniowej i chaotycznej Instytutu analizy systemowej RAN, oraz na katedrze nieliniowych układów dynamicznych wydziału matematyki obliczeniowej i cybernetyki Uniwersytetu Moskiewskiego imienia M. W. Łomonosowa.

W książce tej autorzy przedstawiają swój, w wielu przypadkach odmienny od tradycyjnego punkt widzenia na zasady formowania scenariuszy pojawiania się i sposoby kierowania chaotycznymi reżimami w nieliniowych układach dysypatywnych, opisywanych autonomicznymi rrz i rrc z opóźnionym argumentem.

Wszystkie wyniki teoretyczne oraz wnioski z nich wypływające zostały potwierdzone przez liczne przykłady, ilustracje i obliczenia numeryczne.

Książka składa się z sześciu rozdziałów. W pierwszym z nich przedstawiono podstawowe pojęcia, definicje i twierdzenia związane z teorią rrz, wymagane dla zrozumienia treści dalej przedstawionego materiału.

Drugi rozdział poświęcono opisaniu podstawowych bifurkacji punktów osobliwych, cykli granicznych, torusów i nieregularnych atraktorów układów nieliniowych rrz. Szczególną uwagę poświęcono mało analizowanym do tej pory nielokalnym bifurkacjom konturów homoklinicznych i heteroklinicznych, jak również różnorodnym kaskadom bifurkacji zarówno regularnych jak i nieregularnych atraktorów.

W rozdziale trzecim na podstawie przeprowadzonych obliczeń numerycznych i wielu ilustracji pokazano, że wszystkie klasyczne autonomiczne dysypatywne nieliniowe układy rrz posiadają jeden, ogólny scenariusz przejścia do chaosu poprzez kaskady bifurkacji podwojenia cyklu, subharmoniczne a następnie homokliniczne kaskady miękkich bifurkacji stabilnych cykli granicznych. Taki scenariusz opisuje teorię dynamicznego chaosu w nieliniowych układach rrz, które zostały opracowane przez jednego z autorów i zostały przedstawione w rozdziale czwartym.

Pokazano tam, że wszystkie kreowane w taki sposób nieregularne atraktory, nazwane syngularnymi, należą do domknięcia niestabilnej rozmaitości syngularnego cyklu granicznego, dającego początek wszystkim kaskadom miękkich bifurkacji.

W rozdziale piątym pokazano, że taki scenariusz przejścia do chaosu ma miejsce również w nieskończenie wymiarowych układach rrc typu reakcja-dyfuzja, jak również w rrz z opóźnionym argumentem.

W rozdziale szóstym rozpatrzono klasyczne jak i oryginalne metody rozwiązywania podstawowego problemu kierowania chaosem, polegającego na ujawnieniu i stabilizacji niestabilnych cykli, nieliniowych układów rr, posiadających reżim dynamiki chaotycznej.

Układy nieliniowych rr są przypadkiem szczególnym obszernej klasy nieliniowych układów dynamicznych, do których zaliczamy również różnorodne nieliniowe algebraiczne, różnicowe, całkowe, funkcjonalne i abstrakcyjne równania operatorowe. W związku z tym obecnie zupełnie naturalnym wydaje się jednolite geometryczne podejście do analizy nieliniowych układów dynamicznych, pozwalające rozpatrywać z jednej pozycji układy nieliniowe, opisywane zarówno przez odwzorowania dyskretne, jak rrz i rrc [1 – 10].

Zgodnie z podejściem geometrycznym układem dynamicznym nazywa się jednoparametrową ciągłą lub dyskretną grupę (półgrupę )j(x) przekształceń metrycznej przestrzeni fazowej M w siebie. Grupy ciągłe nazywa się przy tym potokami, a dyskretne kaskadami [3, 11]. Intensywne zastosowanie podejścia geometrycznego do analizy układów dynamicznych rozpoczęło się wraz z ukazaniem się znanej obecnie szeroko, pracy amerykańskiego matematyka S. Smale’a, który wprowadził konstrukcje pewnego typu odwzorowania zwaną obecnie jako podkowę Smale’a [5]. Pokazał on, że stabilnym zbiorem granicznym (atraktorem) dyskretnego układu dynamicznego może nie być zupełnie gładka rozmaitość o całkowitym wymiarze, jaką np. jest stabilny cykl graniczny lub torus, a zupełnie inny samopodobny zbiór fraktalny o wymiarze ułamkowym. Oprócz tego pokazano, że zachowanie trajektorii układu dynamicznego na takim dziwnym atraktorze ( terminologia D. Ruelle, F. Takensa [6] ) jest bardzo złożona, łącząc w sobie globalną stabilność ( trajektorie nie uchodzą z pewnego obszaru przestrzeni fazowej ) z lokalną niestabilnością oddzielnych bliskich sobie trajektorii – trajektorie eksponencjalnie rozbiegają się w czasie, co jest własnością charakterystyczną dla obecności na takim atraktorze zarówno dodatnich jak i ujemnych wykładników Lapunowa. W dalszej kolejności znaleziono i inne chaotyczne układy dynamiczne, opisywane przez odwzorowania dyskretne i posiadające dziwne atraktory np. odwzorowanie logistyczne, odwzorowanie Henona, solenoid Smale’a-Williamsa [5, 11- 16] i inne.

Ponieważ analiza własności ciągłych układów dynamicznych, opisywanych przez rr, może być sprowadzona do analizy własności pewnego odwzorowania – odwzorowania Poincarego, to ujawnione w ciągłych układach dynamicznych nieregularne, chaotyczne zachowanie trajektorii, wiązano zazwyczaj z obecnością w takim układzie dziwnego atraktora. Jednakże formalny dowód takiego faktu nawet dla popularnego układu trzech rrz Lorenza, w którym to po raz pierwszy zauważono nieregularne zachowanie trajektorii [17] , napotkał na poważne trudności. Wielorakie próby prowadzone w przeciągu wielu lat uzasadnienia z użyciem metod geometrycznej teorii układów dynamicznych, obecności dziwnego atraktora w otoczeniu pętli separatys siodło- węzeł i siodło- ognisko w układzie Lorenza zakończyły się niepowodzeniem [18 – 27]. Oprócz tego, zagadnienie pokazania czy zachowanie rozwiązań układu Lorenza pokrywa się z dynamiką geometrycznego atraktora Lorenza zostało sformułowane przez S. Smale’a jako jeden z 18-tu najbardziej znaczących problemów XXI wieku [28]. Wyniki niedawnych prac autorów [29 – 31] pozwoliły w pewnym stopniu twierdzić, ze podejście geometryczne, rozwinięte dla odwzorowań dyskretnych, które to pozwala otrzymać dla nich szereg ważnych wyników, nie jest adekwatne w zastosowaniu do ciągłych układów dynamicznych, opisywanych przez rrz. Odnosi się wrażenie, że sama definicja złożonego (nieregularnego ) atraktora ciągłego układu dynamicznego jako dziwnego atraktora, jak również takie tradycyjne rozdziały dynamiki chaotycznej, jak obliczanie wymiaru atraktora, scenariusza przejścia do chaosu i kryteria chaosu dynamicznego wymagają znaczącej korekty.

 Jak pokazują liczne przykłady [29 – 34], ani obecność dodatniego wykładnika Lapunowa, ani obecność pętli separatys siodło- węzeł i siodło- ognisko nie są warunkami koniecznymi istnienia w układzie rr chaotycznej dynamiki. Oprócz tego, nieregularne atraktory ogromnej klasy trójwymiarowych dysypatywnych autonomicznych układów rr, zawierającej również wszystkie klasyczne układy chaotyczne, kreowane są w wyniku jednych i tych samych kaskad miękkich bifurkacji stabilnych cykli granicznych. Początkiem zawsze jest kaskada bifurkacji podwojenia okresu Feigenbauma, przechodząca w pełną lub nie pełną subharmoniczną kaskadę bifurkacji Szarkowskiego, która jest generowana przez pełną lub nie pełną kaskadę homokliniczną bifurkacji.

W przedstawionej książce, postępując za pracą N. Magnickiego [35], przedstawiamy teorię takich atraktorów, nazwanych syngularnymi. Istnieją one tylko w oddzielnych punktach gromadzenia się wartości parametru bifurkacyjnego i zawierają w dowolnym swoim otoczeniu niestabilne cykle o różnych okresach. Dowiedziono, ze dowolny syngularny atraktor trójwymiarowego autonomicznego dysypatywnego i nieliniowego układu rrz leży na dwuwymiarowej wielogałęziowej powierzchni trójwymiarowej przestrzeni fazowej, będącej domknięciem dwuwymiarowej inwariantnej, niestabilnej rozmaitości syngularnego cyklu siodłowego, dającej początek kaskadzie bifurkacji podwojenia okresu.

W związku z tym faktem wymiar syngularnego atraktora trójwymiarowego układu nie może przewyższać wartości 2.

Dynamika chaotyczna we wszystkich układach wskazanej klasy pojawia się dzięki przesunięciu fazy pomiędzy trajektoriami, tworzącymi powierzchnię separatys syngularnego cyklu, co w konsekwencji prowadzi do możliwości pojawienia się w transwersalnej do cyklu dwuwymiarowej powierzchni obrotowej ciągłych jednowymiarowych odwzorowań, posiadających wieloznaczne odwzorowania odwrotne. Ostatnia okoliczność nie jest możliwa w żadnym przekroju Poincarego, przejście, do którego prowadzi, bowiem do utraty informacji o fazie. Dowolnym syngularnym atraktorem dowolnego układu tej klasy jest domknięcie pewnej półstabilnej nieokresowej trajektorii i w związku, z czym syngularny, atraktor nie może posiadać jednego dodatniego wykładnika Lapunowa i nie jest zbiorem hiperbolicznym.

Na pytanie czy istnieje jeden scenariusz przejścia do chaosu, autorzy odpowiadają, wysuwając następującą hipotezę :

Zatem, we wszystkich układach z rozpatrzonej w książce klasy autonomicznych trójwymiarowych układów rrz w procesie przejścia do chaosu rodzą się pełne lub niepełne subharmoniczne lub homokliniczne syngularne atraktory. Taki scenariusz przejścia do chaosu jest charakterystyczny również dla wszystkich znanych klasycznych trójwymiarowych autonomicznych dysypatywnych układów nieliniowych rrz, włączając w to układy Lorenza, Rosslera, Chua i innych [29 – 33]

Oprócz tego, jak pokazujemy taki scenariusz przejścia do chaosu realizuje się również w układach o dużym wymiarze, a nawet w nieskończenie wymiarowych układach rr. A ponieważ innych scenariuszy przejścia do chaosu w dysypatywnych układach nieliniowych rrz, jak tylko poprzez subharmoniczną lub homokliniczną kaskadę bifurkacji, póki, co realnie nie znaleziono, to bardzo prawdopodobnym wydaje się hipoteza o uniwersalności opisanego w niniejszej książce sposobu pojawiania się dynamiki chaotycznej w układach rr.

 

I na koniec jeszcze kilka ciekawych wyjątków z proponowanej książki :

W przypadku w pełni całkowalnego układu hamiltonowskiego całą przestrzeń fazową można przedstawić w postaci rodziny włożonych w siebie torusów rezonansowych i nierezonansowych, tak, że każdy torus nie jest ani izolowany, ani graniczny. W przypadku nie w pełni całkowalnego układu hamiltonowskiego torsy rezonansowe i niektóre z torusów nierezonansowych zostaje naruszone, a ruch z zadanymi na nich warunkami początkowymi okazuje się bardzo złożony – różny zarówno od ruchu periodycznego, jak i quasiperiodycznego. Obszary naruszonych torusów łączą się, tworząc jedną sieć – obraz Arnolda. Ruch na takim obrazie, nazywa się dyfuzją Arnolda i jest ono przykładem chaotycznego zachowania rozwiązań w układach zachowawczych. Wyjaśnienie tego zjawiska daje twierdzenie KAM

( Kołmogorowa- Arnolda - Mosera ), pięknie wyłożone w wielu podręcznikach [2, 39, 47], do których właśnie odsyłamy zainteresowanego czytelnika. Teraz jedynie zauważymy, że w dowolnym przypadku torusy w hamiltonowskich układach zachowawczych nie są zbiorami granicznymi i nie mogą być stabilne w tym sensie, co i cykle graniczne.

Przeciwnie sytuacja przedstawia się dla układów dysypatywnych, których analizie poświecona jest niniejsza książka.

Właśnie stabilne torusy w wielu przypadkach odgrywają istotną rolę.

Definicja. Inwariantny torus nazywa się stabilnym, jeśli wszystkie trajektorie rozpoczynające się w dostatecznie małym jej otoczeniu nie wychodzą w czasie z U i nieograniczenie przybliżają się ku torusowi przy t -> oo

Metody analizy stabilności torusów inwariantnych w układach dysypatywnych nieliniowych rr w chwili obecnej nie są jeszcze wystarczająco opracowane. Można spróbować przebadać na stabilność zamkniętą krzywą, zapełnioną punktami odwzorowania Poincarego na powierzchni tnącej S. Jednakże taka krzywa nie jest rozwiązaniem jakiegoś równania i analiza jej stabilności jest zagadnieniem bardzo złożonym. Można również spróbować wykorzystać rozpatrywane w kolejnym podpunkcie wykładniki Lapunowa, co jednakże stanowi bardziej znaczenie teoretyczne niż praktyczne.

Globalnie sytuacja z układami dysypatywnymi wygląda znacznie bardziej skomplikowanie, niż w przypadku układów hamiltonowskich, a znalezienie nawet dwuwymiarowych torusów w konkretnych układach rr jest bardziej sztuką niż nauką. Pewne oryginalne metody znajdowanie stabilnych torusów i analiza ich bifurkacji przedstawiono w drugim rozdziale książki.

1. Kaskada bifurkacji podwojenie okresu. Scenariusz Feigenbauma

Jest to scenariusz, któremu odpowiada nieskończona kaskada bifurkacji podwojenia okresu kreowanych stabilnych cykli granicznych, jest on uniwersalny i jest on najbardziej popularnym scenariuszem przejścia do chaosu w nieliniowych układach dynamicznych. Jak już wspominaliśmy wcześniej, można go ujawnić w wielu nieliniowych układach dynamicznych, posiadających zachowanie chaotyczne, zarówno w odwzorowaniach z czasem dyskretnym, jak i w układach opisywanych przez rr. Występuje on np. w hydrodynamicznym modelu Lorenza (2.3) i w hipotetycznych modelach reakcji chemicznych Rosslera (2.5), w elektrotechnicznym modelu Chua (2.6), w modelach produkcji białych krwinek ( model Mackeya- Glassa ) ( zobacz rozdział 5), w makroekonomicznym modelu Magnickiego (2.7) oraz w różnorodnych modelach biologicznych i ekologicznych [75] Właśnie taka kaskada, prowadząca do pojawienia się nieregularnego atraktora Feigenbauma (rys. 2.24), jest początkowym stadium innych, bardziej złożonych kaskad bifurkacji, prowadzących do pojawienia się bardziej złożonych chaotycznych atraktorów. Oprócz tego, dla scenariusza Feigenbauma udało się dowieść pewnych uniwersalnych własności ciągu wartości parametru bifurkacyjnego mn, przy których następuje kolejkowanie bifurkacji podwojenia okresu cyklu i które są zbieżne do wartości u = lim u przy n -> oo 

3.6 Wnioski końcowe i uwagi.

Wyniki przedstawionych w niniejszym rozdziale analiz szeregu dysypatywnych układów dynamicznych, opisywanych poprzez rrz, pokazały, że wszystkie nieregularne atraktory takich układów są syngularne, a przejście do zachowania chaotycznego realizuje się we wszystkich rozpatrzonych układach z wykorzystaniem jednych i tych samych mechanizmów.

Do takich zalicza się kaskadę bifurkacji podwojenia okresu cykli ( kaskada Feigenbauma ), subharmoniczną kaskadę bifurkacji, określających krotność okresów cykli zgodnie z porządkiem Szarkowskiego i homokliniczna kaskadę bifurkacji. 

Mechanizmy takie prowadza do pojawienia się dynamiki chaotycznej w układach rrz i rrc oraz w układach rrz z opóźnionym argumentem (zobacz rozdział 5 ).

Wskazane mechanizmy generują różnorodne syngularne atraktory zarówno z racji geometrycznej budowy układów dynamicznych, jak i w wyniku możliwości realizacji kaskad bifurkacji w różnych kombinacjach i w różnej objętości.

Geometryczna budowa układów związana jest z liczbą, charakterem i umiejscowieniem ich punktów i konturów osobliwych, jak również ze strukturą powierzchni separatysowych punktów osobliwych i cykli osobliwych, dającym początek kaskadom bifurkacji. Taka konstrukcja określa budowę syngularnych atraktorów ich symetrię, obecność lub nie podwójnych kaskad bifurkacji generujących dalsze atraktory itp. Jeśli chodzi o złożoność i moc zbioru cykli, uczestniczących w kreacji atraktora, należy rozróżniać pełne lub niepełne, subharmoniczne i homokliniczne syngularne atraktory. Najprostszym atraktorem syngularnym występującym we wszystkich układach jest atraktor Feigenbauma.

 Inną ważną obserwacją jest ujawnienie tego faktu, że ani obecność pętli separatysy siodło- węzła lub siodło- ogniska, ani obecność samego siodło- węzła lub siodło –ogniska nie są warunkami koniecznymi istnienia w dysypatywnym układzie nieliniowych rr dynamiki chaotycznej. Eksperymenty numeryczne pokazały również, że syngularne atraktory nie będąc tworami strukturalnie stabilnymi, leżą na dwuwymiarowych gładkich powierzchniach w trójwymiarowej przestrzeni fazowej i według wszelkich danych nie posiadają dodatnich wykładników Lapunowa, a ich wymiar nie przekracza 2.

 W pracach [29 – 34] autorzy wysunęli uzasadnione założenie o tym, ze wbrew powszechnie przyjętej opinii nieregularne atraktory nieliniowych dysypatywnych układów rrz mogą leżeć na gładkich podrozmaitościach przestrzeni fazowej

( dwuwymiarowych powierzchniach w przypadku trójwymiarowym ) i że bardzo prawdopodobne jest niewystępowanie pojedynczego dodatniego wykładnika Lapunowa przy ruchu po takich atraktorach. Przy tym wymiar nieregularnych atraktorów trójwymiarowych układów nie powinien być wyższy niż 2, a chaos nie powinien być określany poprzez hiperboliczność układu, ani eksponencjalne rozbieganie się trajektorii na atraktorze, a przesunięciem fazy jednych trajektorii względem innych w miarę przybliżania się do atraktora. Zostało również sformułowane założenie o tym, że nieregularne atraktory układów trójwymiarowych nie są tworami stabilnymi w przestrzeni fazowej i strukturalnie stabilnymi ze względu na parametr, a istnieją tylko w oddzielnych punktach skupienia wartości parametru bifurkacyjnego, będąc w istocie domknięciami półstabilnych nieperiodycznych trajektorii. Stwierdzenia takie zostały w pełni potwierdzone przez wyniki różnorodnych eksperymentów numerycznych, przedstawionych w rozdziałach 3 i 5.

 W niniejszym rozdziale wszystkie powyżej sformułowane problemy zostały pozytywnie zweryfikowane dla szerokiej klasy trójwymiarowych autonomicznych układów nieliniowych rrz, posiadających od samego początku syngularny cykl stabilny.

Dowiedziono również [35], że wszystkie regularne i syngularne atraktory takich układów, pojawiające się po utracie stabilności cyklu syngularnego przy zmianie wielkości parametru systemowego w procesie subharmonicznych, homoklinicznych i być może bardziej złożonych kaskad bifurkacji, należą do domknięcia jej gładkiej dwuwymiarowej i jako minimum dwuspójnej niestabilnej rozmaitości.

Ujawniony mechanizm, za pośrednictwem którego przesunięcie fazy trajektorii układu przy ich obrocie wokół wejściowego syngularnego cyklu daje możliwość przejść do pewnego jednowymiarowego ciągłego i niemonotonicznego odwzorowania odcinka w siebie w pewnej dwuwymiarowej poruszającej się wzdłuż cyklu płaszczyźnie. 

Wejściowemu cyklowi na takiej płaszczyźnie odpowiada osobliwy punkt typu „rotor” ( zobacz p.p 4.4 ) dwuwymiarowego nieautonomicznego układu rrz o współczynnikach periodycznych.

Powyżej ustalone przejście daje możliwość wyjaśnienia natury i przyczyny formowania syngularnych atraktorów autonomicznych trójwymiarowych układów na podstawie teorii jednowymiarowych ciągłych i niemonotonicznych odwzorowań, fundament których został postawiony w pracach M. Feigenbauma, A. Szarkowskiego, T. Liego i J. Yorke’a [66, 76, 86- 88]. Z takiej teorii wynika, że przejście do chaosu w trójwymiarowych nieliniowych układach rr, posiadających syngularne cykle, realizuje się właśnie w ten sposób jaki obserwujemy w eksperymentach numerycznych tj. poprzez kaskadę bifurkacji Feigenbauma podwojenia okresu cykli, a następnie poprzez subharmoniczną kaskadę Szarkowskiego.

 Ponieważ innych scenariuszy przejścia do chaosu w omawianych układach rrz, jak poprzez kaskadę bifurkacji podwojenia okresu cykli, subharmoniczną, a następnie być może homokliniczną kaskadę bifurkacji póki co realnie nie znaleziono ( zobacz [29 – 30], jak również rozdziały 3, 5 ), to bardzo prawdopodobna wydaje się hipoteza mówiąca o uniwersalności opisanego w niniejszym rozdziale sposobu pojawiania się dynamiki chaotycznej. W układach o większym wymiarze (< 3 ) może realizować się scenariusz przejścia do chaosu poprzez subharmoniczna kaskadę bifurkacji dwuwymiarowych torusów ( zobacz p.p 3.2 oraz [34] ), co również układa się w ramy przedstawionego dalej podejścia. Zatem, ani obecność w układzie dodatniego wykładnika Lapunowa, ani obecność pętli separatysy siodło- węzła lub siodło- ogniska, ani nawet obecność samego siodło- węzła lub siodło- ogniska nie są warunkami koniecznymi istnienia w danym układzie rr dynamiki chaotycznej.

 4.7 Uwagi i wnioski końcowe.

W niniejszym rozdziale dowiedziono, że przejście do chaosu w szerokiej klasie trójwymiarowych autonomicznych nieliniowych i dysypatywnych rrz realizuje się zgodnie z następującymi zasadami :

a) dowolny atraktor układu ( periodyczny lub syngularny ) leży na dwuwymiarowej, a w przypadku ogólnym – wielogałęziowej powierzchni G, będącej domknięciem dwuwymiarowej inwariantnej rozmaitości niestabilnej

( powierzchni separatysowej ) jej syngularnego cyklu siodłowego.

b) dynamika chaotyczna w układzie pojawia się dzięki przesunięciu fazy pomiędzy trajektoriami tworzącymi powierzchnię separatysową syngularnego cyklu, co prowadzi do możliwości pojawienia się w transwersalnej do cyklu, dwuwymiarowej płaszczyźnie rotującej jednowymiarowych odwzorowań ciągłych, posiadających wieloznaczne odwzorowania odwrotne.

c) dowolnym syngularnym atraktorem układu jest domknięcie pewnej, należącej do G półstabilnej nieperiodycznej trajektorii

d) dowolny atraktor syngularny nie posiada dodatnich wykładników Lapunowa, a jego wymiar fraktalny nie przewyższa wartości dwa.

e) we wszystkich układach w/w klasy realizuje się jeden i ten sam scenariusz przejścia do chaosu, rozpoczynający się kaskadą bifurkacji Feigenbauma podwojenia okresu stabilnych cykli, a następnie jest ona kontynuowana poprzez subharmoniczną bifurkacje Szarkowskiego kreacji stabilnych cykli o dowolnym okresie i przy obecności w układzie pętli separatysy siodło- ogniska – homoklinicznych kaskad bifurkacji stabilnych cykli, zbieżnych ku konturowi homoklinicznemu.

Zatem, we wszystkich układach rozpatrywanej klasy w procesie przejścia do chaosu kreowane są pełne i niepełne subharmoniczne lub homokliniczne atraktory ( za wyjątkiem bardziej złożonych atraktorów typu takiego jaki rozpatrzyliśmy w przykładzie 3 ). Takie scenariusze przejścia do chaosu są charakterystyczne również dla wszystkich znanych klasycznych trójwymiarowych autonomicznych, dysypatywnych układów nieliniowych rrz, włączając w to układy równań Lorenza, Rosslera, Chua i inne. 

Dlatego też bardzo prawdopodobną wydaje się hipoteza o uniwersalności opisanego w niniejszym rozdziale sposobu pojawiania się dynamiki chaotycznej w w/w rrz. 

 **************************************************************

Z punktu widzenia moich dalszych celów chciałby szczególnie zaakcentowac rolę chaosu w układach dynamicznych, co też czynię poprzez niżej podany cyctat :

 

 

"Obecność chaosu jest nie oddzielną częścią dla większości nieliniowych układów dynamicznych, opisujących wystarczająco złożone fizyczne, chemiczne, biologiczne, socjalne i inne procesy i zjawiska. Układy chaotyczne charakteryzują się podwyższoną czułością na małe zaburzenia parametrów układowych i warunków początkowych, na mocy czego w ciągu wielu lat zachowanie takich układów przyjmowane było jako nieprzewidywalne i nie kontrolowanle. 

Panowała opinia, że żądane zachowanie układu można zrealizować tylko eliminując z niego chaos nawet za cenę dużych i radykalnych zmian w samym układzie, prowadzących do zmiany globalnej jego dynamiki.

Postawione zagadnienie sprowadzało się do wyboru parametrów kierujących albo w postaci bezpośredniej (kierowanie programowe ), albo w postaci sprzężenia zwrotnego w celu sprowadzenia rozwiązania danego układu do zadanej periodycznej postaci z celem synchronizacji rozwiązania układu z rozwiązaniem pewnego innego układu posiadającego wymagane regularne własności ( zobacz odsyłacze w pracy [103] oraz prace [104- 105] ) Innymi słowy, rozwiązywano zagadnienie stabilizacji zadanej lub żądanej trajektorii w układzie z zachowaniem chaotycznym.

Jednakże w ostatnich latach zaczęto rozumieć szczególną rolę chaosu w samoorganizacji różnorodnych zjawisk [11- 16, 103 – 108]. Uświadomiono sobie, że chaos nie tylko nie przeszkadza, a raczej jest koniecznym warunkiem pracy złożonych układów np. takich jak mózg człowieka [107 – 109]. Tylko dzięki obecności atraktora chaotycznego, zawierającego oczywiście, nieskończoną liczbę niestabilnych periodycznych trajektorii (cykli), można osiągnąć jakościową zmianę dynamiki układu ( przechodząc z otoczenia jednego cyklu w otoczenie drugiego cyklu ) poprzez małe zaburzenia parametrów układowych"

Innymi słowy realizujemy klasyczny program szkoły I. Prigoginea : Z chaosu ku porządkowi

I dalej w kierunku synergetyki, szkoły H. Hakena

 

Życzę miłej lektury