Ostatnią notkę zakończyłem stwierdzeniem, mówiącym iż z wielu powodów ( dla mnie oczywiście interesujące są te, które wynikają z konotacji fizycznych ) warto zapoznać się z teorią procesów stochastycznych.
No cóż słowo się rzekło – niech tak będzie, chociaż od razu powiem, że Ameryki nie odkrywam i nie będę ukrywał, że sięgniecie do dobrego podręcznika jest zalecane i/lub jest konieczne.
W poniższym tekście zainteresowany czytelnik może się zapoznać, ogólnikowo z trzema działami matematyki wiążącymi się bezpośrednio z pojęciami probabilistycznymi, są to - klasyczna teoria prawdopodobieństwa, teoria procesów stochastycznych i rachunek stochastyczny.
http://fizyka-teoretyczna.republika.pl/matematyka/Rachprawd.zip
Dalej skupię się jedynie na najważniejszych z mojego punktu widzenia zagadnieniach.
Jeśli chodzi o rachunek prawdopodobieństwa, to oczywiście podstawą jest tutaj aksjomatyczne zdefiniowanie pojęcia prawdopodobieństwa tj. miary probabilistycznej na przestrzeni mierzalnej.
Kluczową jest tutaj koncepcja sigma –algebry podzbiorów ( borelowskiej rodziny zbiorów ). W w/w tekście starałem się uwypuklić fakty związane z tym, dlaczego wprowadzamy pojęcie sigma algebry i podkreślić czym jest a czym nie jest prawdopodobieństwo – jest to miara o określonych własnościach
( jest ona unormowana ).
Dalej należy wprowadzić pojęcie zmiennej losowej ( jedno lub wielowymiarowej ) – jako głównego pojęcia rachunku prawdopodobieństwa.
( odwzorowanie dwóch przestrzeni mierzalnych ) Następnie należy zdefiniować pojecie rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej ( np. typu ciągłego lub dyskretnego ). Tutaj można wprowadzić różnorodne rodzaje rozkładów. W następnej kolejności definiujemy główne parametry opisowe zmiennych losowych – np. wartość oczekiwaną, odchylenie standardowe.
Mając do dyspozycji pojęcie zmiennej losowej możemy zdefiniować proces stochastyczny.
Podstawowym rodzajem procesu stochastycznego jest proces Markowa ( ciągły lub dyskretny ). Równaniem rządzącym procesem Markowa jest równanie Chapmana –Kołmogorowa- Smoluchowskiego.
Okazuje się jednakże, że równanie to można wyprowadzić z ogólniejszego równania – równania M
( równania master ). Z równania M możemy wyprowadzić również równanie Fokkera-Plancka
(równanie dyfuzji )
Pośród różnorodnych procesów Markowa wyróżnić możemy proces Wienera ( opisuje on np. zmianę współrzędnej cząstki Browna ), proces Ornsteina- Uhlenbecka ( opisuje np. prędkość cząstki Browna ), czy też proces szumu białego.
Jeśli chodzi o własności charakterystyczne procesów stochastycznych, to warto wymienić twierdzenie Wienera-Chinczyna, które wiąże gęstość spektralną z funkcją autokorelacyjną.
Dla zastosowań w rachunku stochastycznym ważnym jest pojęcie martyngału.
Jeśli zaś idzie o rachunek stochastyczny, to na czoło wybija się konstrukcja całki stochastycznej pochodząca od Ito i Stratonowicza. Są to dwa różne podejścia, dające różne wyniki. W w/w tekście zaakcentowano czym się różnią takie podejścia i jakie są ich plusy i minusy.
Ogólnie całka stochastyczna jest to całka po procesie stochastycznym X z różniczką dM, gdzie M – jest martyngałem. Cała sztuka polega na umiejętnym rozbiciu różnicowym i rozszerzeniu zbioru funkcji mierzalnych, tak aby nadać sens powyższej całce stochastycznej. I tutaj pojawia się niespodzianka, w odróżnieniu od np.całki typu Riemanna – Stieltjesa, całka stochastyczna zależna jest od sposobu rozbicia różnicowego. Stąd pojawiają się dwa różne podejścia – Ito i Stratonowicza.
Oba z nich są jednakowo dobre ( w sensie – są poprawne matematycznie ), a to które z nich jest lepsze stanowi rzecz konkretnego zastosowania. A jeśli chodzi o zastosowania, to są one szerokie – od klasycznych zagadnień filtracji, po analizy rynkowe czy też neurobilogię.
Ostatnim tematem jest zagadnienie związane z określeniem pojęcia stochastycznego równania różniczkowego. Oczywiście, mamy tutaj analogię znaną z analizy klasycznej : równanie w postaci całkowej – równanie w postaci różniczkowej.
Jeśli chodzi o literaturę tematyczną, to pośród licznych publikacji chciałbym wymienić następujące książki :
( jeśli chodzi o literaturę w języku polskim, to odsyłam do spisu literatury w zalikowanym tekście )
3) Basic Stochastic Processes A Course Through Exercises - Z. Brzezniak, T. Zastawniak , Springer 2002
4) Introduction to Stochastic Integration- , , 1987
( pozycje 1, 2, 4 dostępne są w języku rosyjskim )
Komentarze