Każda wystarczająco ukształtowana teoria fizyczna bazuje na takim lub innym formalizmie matematycznym.
Nie inaczej jest i z mechaniką kwantową. Napisano wiele łatwiejszych, czy też trudniejszych, lepszych i gorszych ksiażek, artykułów, notatek lub czegoś innego na ten temat. A temat mówiąc wprost jest trudny, skomplikowany formalnie i nie łatwy w ogarnięciu. Nie pretendujac, ani do zupełności przedstawienia tematu, ani do pełnej ścisłości formalnej proponuje zapoznanie się z nastepujacym tekstem :
fizyka-teoretyczna.republika.pl/fizyka/FormalizmMQ.zip
Od razu powiem, że poza celem czysto poznawczym, niniejszy tekst stanowic będzie dla mnie bazę ram formalnych dla kolejnej notki, w której zaprezntuje określony sposób podejścia do formalizacji teorii fizycznych.
Wyprzedzajac nieco fakty postaram się na jego podstawie podac przykład konkretnej teorii fizycznej, która została sformalizowana w sposób nietrywialny tj. która posiada kilka modeli formalnych, pośród których można wyróżnic modele izomorficzne matematycznie i modele nakrywajace. Mogę zatem pokazac konkretną realizacje schematu nieformalnego postaci :
Przyroda jako zbiór nieformanly P <=> interpretacja <=> struktura formalna S
Ale o tym w nastepnej notce.
Teraz troszkę o zalikowanym tekście.
Matematyczną bazą mechaniki kwantowej (MQ), jak wiadomo jest teoria przestrzeni Hilberta (skończonej lub nieskończonej ), która to stanowi tradycyjny dział analizy funkcjonalnej. Tak też rozpoczynam tekst.
Tekst rozpoczyna definicja formalna struktury przestrzeni Hilberta, dalej mamy pojęcie operatorów działających w niej - ograniczonych i nieograniczonych. Dalej twierdzenie spektralne. Podaje kilka innych użytecznych twierdzeń, które przydają się w zastosowaniach do MQ. Wszytskie tematy jedynie zarysowane - po szczegóły odsyłam do monografii ( których spis podany jest w tekście omaiwajacym Analizę funkcjonalną ).
Jeśli chodzi o przeniesienie w/w formalizmu matematycznego na teorię fizyczną jaką jest fizyka kwantowa, to najważniejszym wydaje się sformułowanie zaproponowane przez Diraca w postaci notacji "bra-ket"
< a | lub | b >
Innymi słowy, zanurzenie wektora stanu w przestrzeń Hilberta L2(R) i przestrzeni do niej sprzeżonej i określenie iloczynu skalarnego < a|b> jako funkcjonału działajacego na tej przestrzeni.
Dla przyzwoitości należy również uwzględnic wpływ monografii von Neumanna "Mateamtczne podstawy mechaniki kwantowej" jak i dalszych autorów np. Stone'a, Riesza, ....
Jądrem interpretacji jest tzw. aksjomatyczne sformułowanie MQ, nie są to oczywiście aksjomaty w sensie matematycznym. Najważniejszym faktem dla ich prawidłowego rozumienia jest rozumienie zakresu ich stosowalności. Pośród licznych możliwości ich wypowiedzenia standardowymi są te, które mówią o przestrzeni stanów układu kwantowego, obserwablach, statystycznej interpretacji twierdzenia spektralnego i dynamice układu kwantowego.
W zależnosci od celów jakie przyświecają autorowi, można dodac inne np. aksjomat mówiący o pomiarze kwantowym.
Jak już mówiłem ważnym jest opisanie do jakiego kręgu zagadnień stosują się takie aksjomaty.
Inne są dla układów operujących na stanach czystych, a inne dla układów opisywanych przez macierz gęstości. Inne sa dla układów o n stopniach swobody (MQ), a inne dla układów o nieskończonej liczbie stopni swobody - kwantowych teorii pól (QFT). Wreszcie - inne sa dla ukałdów otwartych, a inne dla zamkniętych.
Przykładowo dynamika układów opisywanych przez macierz gęstości opisywana jest równaniem von Neumanna, a układ czysty podlega równaniu np. Heisenberga.
Dla porównania układ otwarty podlega np. równaniu Lindblada.
Wszytskie te okoliczności należy miec na uwadze, aby nie żądac od formalizmu, tego czego w nim jasno nie zawarto.
Jeśli chodzi o literaturę polecaną, to oprócz ksiażek wymienionych lub zacytowanych w tekście polecam :
1) ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ ИНФОРМАЦИИ - А. Ю. ХРЕННИКОВ
( krytyczna analiza aksjomatów MQ )
2) Quantum Computation and Quantum Information - Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang
( omówienie standardowych aksjomatów z punktu widzenia pomiarów kwantowych )
3) ВЕРОЯТНОСТНЫЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ. - ХолевоА.С.
( podstawy matematyczne MQ )
4) Conceptual Foundations of Quantum Mechanics - Bernard d'Espagnat
5)FOUNDATIONS OF QUANTUM MECHANICS - JOSEF M. JAUCH
