Każdą obracającą się swobodnie bryłę sztywną można scharakteryzować przez wyznaczenie trzech głównych momentów bezwładności, które są na stale przypisane do jej kształtu rozumianego jako rozkładu mas względem środka masy całości bryły.
Kierunki głównych momentów bezwładności obracają się razem z bryłą sztywną, ale ich wartości nie zmieniają się w czasie.
W przypadku brył symetrycznych takich, jak kula, czworościan foremny, sześcian momenty bezwładności są takie same dla wszystkich kierunków wybiegających ze środka bryły. Takie bryły przedstawił też profesor Jadczyk https://www.salon24.pl/u/arkadiusz-jadczyk/715428,obracajac-sie-w-idealnych-sferach
W przypadku takich brył jak elipsoida, prostopadłościan o różnej długości boków, wyznaczenie równych kierunków również nie napotykają trudności ponieważ czytelnie pokrywają się z głównymi osiami bryły wynikającymi z jej kształtu. Takie bryły są bardzo dobre do analizy i symulacji naukowych. Takimi też zajmował się profesor A. Jadczyk , publikując na Salonie24 w 2016 roku słynną serię notek o obracających się gajkach.
Czasami jednak ktoś jest jeszcze bardziej ambitny i chce się zająć analizą bryły w której kierunki głównych momentów bezwładności nie są wprost widoczne. Takie zadanie wyznaczył sobie Slej (aczkolwiek pewnie sam sobie nie zdawał z tego sprawy) .https://www.salon24.pl/u/przestrz/
Dla przedstawionego powyżej układu zadanego przez Sleja, nie da się stwierdzić od razu czy główne momenty bezwładności pokrywają się z osiami układu współrzędnych x,y,z. Przypomniały mi się studenckie czasy, kiedy jako szary student musiałem również wykonywać zadania znajdowania podobnych głównych kierunków. W przypadku momentów bezwładności miałem tylko do czynienia z figurami płaskimi i często najpierw musiałem wyznaczyć ich oś obojętną.
Sprawdzimy i tutaj. Wzór jest prosty. dla środka ciężkości
wzdłuż osi x - Σ( mi * xi)/ Σmi
wzdłuż osi y - Σ( mi * yi)/ Σmi
wzdłuż osi z - Σ( mi * zi)/ Σmi
gdzie i oznacza parametry (masa i rzędna) poszczególnym punktom M1, M2, M3.
Na szczęście w tym wypadku środek ciężki pokrywa się ze środkiem układu współrzędnych. Aby sprawdzić główne momenty bezwładności , najpierw musimy wyliczyć składowe tensora momentu bezwładności w przyjętym układzie współrzędnych:
Obliczamy je według wzorów:
Po obliczeniu wartości tensor momentu bezwładności przyjmuje postać:
Jak widzimy, oprócz wartości na głównej przekątnej pojawiają się także wartości poza przekątną, zwane dewiacyjnymi momentami bezwładności. Oznacza to, że bryła którą sobie obraliśmy za zadanie, nie jest symetryczna tylko kartoflem. Aby móc na poważnie zająć się analizą kartofla i przy tym nie zwariować, powinnyśmy obliczyć główne momenty bezwładności oraz ich kierunki, czyli kąty w jakich są one odchylone od przyjętego układu współrzędnych.
Obliczenia głównych momentów przeprowadza się tak samo jak dla głównych kierunków tensora naprężeń, tensora odkształcenia i tym podobne. Ja przerabiałem kierunki główne tensora naprężenia, ale przyznam szczerze, że na egzamin nie nauczyłem się procedury ich liczenia. A to dlatego, że zadanie było pracochłonne a dawano tylko 2 pkt na 16 możliwych do uzyskania, a czasu było tylko 90min na wszystkie zadania. Wolałem się skupić na innych zadaniach dających więcej punktów przy mniejszej pracochłonności. Nic jednak straconego, kierunki główne, tym razem dla tensora bezwładności wyliczyłem dzisiaj, z pomocą arkusza kalkulacyjnego.
Aby wyznaczyć momenty główne trzeba obliczyć wyznaczniki macierzy, które potem są podstawiane do współczynników wielomianu trzeciego stopnia. Nie wdając się w szczegóły, do excela wstawiłem gotowe równania ze przykładu http://kmm.p.lodz.pl/dydaktyka/zb_zad/WM0601.pdf
Wartości głównych momentów bezwładności po uszeregowaniu od najmniejszego wynoszą:
Jak widzimy największy moment bezwładności Izz o wartości 6 pozostał taki sam. Oznacza to, że oś Z momentów głównych pokrywa się z osią Z wg przyjętego układu współrzędnych. Nieco zmieniły się pozostałe wartości.
Obliczmy teraz, o ile kierunki głównych momentów bezwładności są obrócone względem przyjętego układu współrzędnych.
W tym celu skorzystamy z zależności I1^2 + m1^2 +n1^2 =1 gdzie l,m,n oznaczają cosinusy kąta głównych momentów bezwładności (odpowiednio I1, I2, I3) względem osi układu współrzędnych, oraz ze wzoru:
Wzór jest akurat dla tensora naprężenia , ale pod wartości σ i τ wystarczy podstawić wartości z tensora momentu bezwładności, a wartość σ 1 zastąpić wartością głównego momentu bezwładności I1. Procedurę powtarzamy dla I2 i I3.
Układ równań bez wspomnianej wcześniej zależności jest nieprzydatny bo zwraca wszystkie wartości l,m,n jako zera. W zadaniu wystarczy jednak przyrównać do siebie pierwsze l i m i z zależności I^2 + m^2 +n^2 =1 obliczyć ich wartości. Obliczone cosinusy dla I1 wynoszą : l1=-0,987, m1=0,1605, n1=0 (bo kierunek pozostaje prostopadły wobec osi z) i właściwie z tego wiemy już wszystko. Kąt odchylenia dla cos 0,987 wynosi -9,236 stopnie.
Sprawdzając, możemy teraz obliczyć tensor momentu bezwładności dla nowego obróconego układu współrzędnych oznaczonego primami x', y', z' który przedstawia się jak na obrazku:
Obliczone w arkuszu kalkulacyjnym nowe wartości tensora przedstawiają się następująco:
Są to wartości bardzo zbliżone do obliczonych wcześniej głównych momentów bezwładności, a niewielkie odchyłki wynikają z przyjętych zaokrągleń przy wprowadzaniu danych.
W załączeniu plik excela z opracowanymi przeze mnie tabelkami do ściągnięcia:
https://www.easypaste.org/file/Psy1RiwK/obroty3.xlsx?lang=pl
Komentarze