Zawsze fascynowało mnie Wahadło Galileusza. Proste reguły w pewnych warunkach dają wrażenie chaosu jaki trudno okiełznać. Chciał bym dziś napisać o czymś, co może właśnie takim przypadkiem być. Zawsze mnie ten temat nurtował, ale uważałem że powinni zajmować się tym zawodowi matematycy, bo to nie na Ludwiczka głowę. Czytałem bardziej z ciekawości niż z chęci badania problemu. Całkiem niedawno to się zmieniło. Trochę się zaangażowałem (hyhy). Nie jestem @AJ by długie wstępy pisać. Nie bawi mnie to i raczej nie umiem. Więc do sedna.
Podejmuję sprawę trudną (bardzo). Tajemnica liczb pierwszych jest dla każdego wyzwaniem. Nie mam zamiaru co prawda szukać rozwiązania problemu miejsc zerowych funkcji dzeta Riemanna, bo nie ten poziom z matmy (choć sama ta funkcja nie jest jakoś drastycznie trudna). Jednak chce pokazać że jakieś prawa jedna rządzą liczbami pierwszymi i nie są one aż tak trudne by się ich specjalnie bać. Zacznijmy od kogoś wielkiego, żeby mieć jakieś odniesienie. W tym wypadku będzie to Eratostenes oraz jego sito do wyszukiwania liczb pierwszych. Nie będę opisywał w szczegółach jak ono działa. Każdy przeczyta sobie np tu:
Sito Eratostenesa
W skrócie w tabeli liczb wykreślamy liczby jakie nie są liczbami pierwszymi według prostej reguły. Dokładnie można doczytać w linku jaki podałem. Wynikiem tego działania będzie to, że w tablicy pozostaną tylko liczby pierwsze. Wygląda to tak:
Pola białe to liczby pierwsze jakie pozostały po wykreśleniu wszystkich innych liczb. Bajzel że mucha nie siada...całkiem jak z tymi wahadełkami w pewnym momencie.Wygląda to zniechęcająco. Pytanie czy da się z tym coś zrobić?
Da się. Takie sito można zrobić trochę inaczej. Zrób my sobie tabelę w jakiej w każdym wierszu będziemy mieć 30 cyfr. Liczba wierszy dowolna, choć czym większa, tym lepiej będzie widać o co mi chodzi.Ja takową zrobiłem i jeśli ktoś chce, to mogę mu przesłać plik xml (exel) do sprawdzenia. Wygląda to już na bardziej cywilizowany układ:
Krótki opis:
kolor zielony liczby jakie nie są liczbami pierwszymi
kolor czerwony to liczby pierwsze (trochę nie wyszedł kolorek)
kolor niebieski to też nie są liczby pierwsze, ale znajdują się w kolumnie z liczbami pierwszymi
W tej tabeli liczby pierwsze już nie wyglądają wcale na tak przypadkowo rozłożone. Znajdują się one zawsze w kolumnach zaczynających się od 1,7,11,13,17,19,23,29. Zauważyć trzeba też, że kolumna 15 jest osią symetrii i lewa strona jest odbita po prawej stronie w odwrotnej kolejności. Co ciekawe odbicia są cykliczne. Pokazuje to obrazek dla 60 liczb w wierszu:
Tabela ma tylko 11 wierszy, wiec może nie jest to tak bardzo widoczne, jak przy tabeli na 70 wierszy. Jednak reguła pozostaje. Jak się dokładnie przyjrzymy mamy 3 osie symetrii. Główna oś teraz przypada na kolumnę 30 i dwie poboczne osie symetrii w kolumnach 15 i 45. Jak ktoś jest niedowiarkiem, może taka tabele zrobić dla 90 lub 120 cyfr w wierszu. Liczby pierwsze nadal będą układać się w kolumnach a osie symetrii będą pojawiać się co 15 kolumnę.
Pozorny chaos liczb pierwszych był tylko pozorny, bo tak naprawdę układają się one w kolumnach. Żeby nie było zbyt łatwo, w tych kolumnach też są liczby jakie nie są liczbami pierwszymi.To zdecydowanie utrudnia nam sprawę. W tym miejscu trzeba koniecznie wspomnieć o tak zwanej gęstości liczb pierwszych. Mówi ono nam że gęstość liczb pierwszych spada wraz z wielkości liczonego zakresu. Prosto mówiąc, w zakresach mniejszych jest więcej liczb pierwszych do pozostałych liczb niż w zakresach większych. Czyli w zakresie od 0-100 mamy 25 liczb pierwszych a w zakresie od 1000 do 1100 już tylko 16. Ta zasada jest widoczna na rysunku z 30 liczbami w wierszu.
Jest jeszcze jedna sprawa o jakiej chce napisać. Liczby w tabeli możemy pogrupować według ich cech.
a/ liczby pierwsze jakie są początkiem kolumn (1,7,11,13,17,19,23,29)
b/liczby pierwsze jakie nie występują w kolumnach (2,3,5)
c/liczby pierwsze jakie znajdują się w kolumnach
oraz
d/liczby jakie nie są pierwszymi ale znajdują się w kolumnach 1,7,11,13,17,19,23,29
e/wszystkie inne liczby jakie nie są liczbami pierwszymi (4,6,8,9....)
Mamy 5 rożnych grup. Bardzo ciekawa jest grupa b. Nie pasują one do wzorca. Być może pełni one jakieś funkcje specjalne lub nasza definicja liczb pierwszych ma wady. Natomiast liczby 1,7,11,13,17,19,23,29 są root-ami swoich kolumn. Rozbudowując nasz pierwszy wiersz do nieskończoności, każda liczba pierwsza stanie się liczbą root ale z pustą kolumną. Jedyne ograniczenie jak mi się wydaje, to wielokrotność liczby 30 (15). Wniosek dość niepewny jest więc taki, że nieskończoność dzieli się prze 30 lub 15 bez reszty :). Wiem, ta logika jest pokrętna i nie mam na nią żadnego dowodu. Jednak widzę taką możliwość.
Namalowałem co miałem namalować. Opisałem jak umiałem. Problem w tym że liczby pierwsze w kolumnach 1,7,11,13,17,19,23,29 nadal pojawią się przypadkowo. Nie widać w ich rozkładzie żadnej fajnej reguły. To samo jest dla dowolnej tabeli w jakiej liczba cyfr w wierszu jest iloczynem 30 (15). Dla czego więc żadna liczba pierwsza nie wypada np w kolumnie 5 albo 21? Wniosek nasuwa się sam, że rozkład liczb pierwszych jednak ma jakąś regułę. Być może jest to zestaw reguł podobnie jak w Wahadle Galileusza. Byś może jest jeszcze inaczej, ale uważam za pewne, że gdyby takiej reguły nie było, to rozkład liczb pierwszych był by losowy, a nie kolumnowy.
Pytanie więc pozostaje otwarte, jaka reguła układa liczby pierwsze w ten a nie inny sposób. Doszło kolejne pytanie, dla czego jest taka relacja liczb pierwszych w tych tabelach? Nie wierzę że to jest przypadek, a wy?
Głowa od tego boli....
tagi: nauka, matematyka, fizyka, Eratostenes, liczby pierwsze
