W notce Czy te liczby mogą kłamać? wskazałem że można liczby pierwsze podzielić na dwie grupy. Roboczo nazwałem grupę wyodrębniona z zbioru liczb pierwszych, liczbami pierwszymi fałszywymi. Oczywiście nie ma tu mowy o żądnym fałszerstwie. Opisałem procedurę doboru tych liczb w linkowanej notce. W skrócie mowa jest o tym, że dla liczby porządkowej a podniesionej do kwadratu, można wskazać liczbę b też podniesiona do kwadratu, taką że da w sumie liczbę Lp jaka jest liczbą pierwszą. Czyli:
a^2+b^2=Lp gdzie Lp jest liczba pierwszą
Pamiętać trzeba że istnieje wiele liczb jakie w tej procedurze dadzą liczbę złożoną. Wyróżnikiem jest to, że są liczby pierwsze jakie nie da się zapisać w postaci takiej sumy. Utworzyłem więc pewien podział liczb na :
1/liczby złożone
2/liczby pierwsze spełniające równanie
3/liczby pierwsze nie spełniające tego równania
Porządny matematyk szukał by teraz dowodu na to że dla każdej liczby ze zbioru liczb porządkowych, istnieje liczba b taka że da sumę kwadratów w postaci liczby pierwszej. Ja nie jestem matematykiem i na razie takiego dowodu nie mam. Pytanie czy muszę go mieć? Na pewno bardzo bym chciał go mieć. Na razie przyjmę że twierdzenie jest prawdziwe i przedstawią konsekwencję takiego stanu.
Zauważmy że liczba a to każda kolejna liczba porządkowa od 1 do nieskończoności. Natomiast liczba b pojawia się losowo i może się powtarzać. Jeśli tak jak pisałem przyjmiemy że każdej liczbie porządkowej można przypisać liczbę pierwszą według tej reguły, musimy uznać że zbiór liczb porządkowych i zbiór liczb pierwszych fałszywych są równoliczne. To naturalna konsekwencja przyjęcia reguły w jakiej jakaś funkcja liczbie a przypisuje inna liczbę.
Po co to gadanie o liczności tych zbiorów? Cel jest prosty.
Skoro podzbiór zbioru liczb pierwszych, zawierający tylko liczby pierwsze fałszywe jest równoliczny z zbiorem liczb porządkowych, to zbiór liczb pierwszych jest liczniejszy od zbioru liczb porządkowych. >>>>>>>> Twierdzenie robocze
Jak to? Można by uznać że jest to dowód na to że twierdzenie jest fałszywe? To było by zbyt proste. Najlepiej było by znaleźć liczbę porządkową jaka by nie spełniała reguły. Mi się nie udało. Może komuś się uda...nie wiem. Natomiast ciekawa jest sytuacja jeżeli twierdzenie jednak jest prawdziwe. Czy to możliwe żeby liczb pierwszych było więcej jak liczb porządkowych? Gdy pierwszy raz o tym pomyślałem uznałem to za irracjonalne. Podam jednak przykład gdy nasza intuicja nas zwodzi w takich wypadkach. Bardzo podobnie było z liczbami zespolonymi w postaci a+bi, gdzie i to jednostka urojona.
Czy więc z liczbami pierwszymi może być analogicznie jak z liczbami zespolonymi? Jeśli tak, jaki by to miało sens matematyczny?
Na koniec jeszcze numerologia :)
1^2+1^2=2
2^2+1^2=5
3^2+2^2=13
4^2+1^2=17 -->>> (2*2)^2+1^2=17
5^2+2^2=29 ->>> (2^2+1^2)2+2^2
6^2+1^2=37 -->>> (3*2)^2+1^2=37
7^2+2^2=53
8^2+3^2=73 -->>> (2*2*2)^2+3^2=73
9^2+4^2=97 -->>> (3*2)^2+(2*2)^2=97
10^2+1^2=101 -->>> (2*5)^2+1^2=101 ->>> {2*[(2^2+1^2)2+2^2]}^2+1^2
11^2+4^2= 137 -->>> 11^2+(2*2)^2=137
Co to znowu? Okazuję się że każdą liczbę pierwszą fałszywą możemy rozłożyć na sumy kwadratów liczb pierwszych (1),2 i 3. Przykład dotyczy tylko 11 liczb pierwszych fałszywych, ale mogę postawić hipotezę: Każdą liczbę pierwszą fałszywą, można rozłożyć na sumy kwadratów liczb pierwszych, jakie nie są liczbami fałszywymi. Sprawdźmy więc czy z liczby 7 coś nam wyjdzie:
7^2+x^2=Lp? Nawet nie trzeba kalkulatora i wiadomo że x=12 a wynik to 193. Zauważmy że liczba 7 już nam wystąpiła w parze z liczbą 2.
Złośliwie można by napisać że każdą liczbę da się tak rozłożyć, stosując wielokrotnie kwadrat liczby 1. Można, tylko po co? Rozkład o jakim mówię dzieli zbiór liczb pierwszych na dwa podzbiory. Rozkładając na sumy jedynek nie uzyskujemy nic (przynajmniej ja tego nie widzę).
Przekonany jestem że liczby pierwsze nie są jednakowe, a na pewno mają jeszcze tajemnice jakie na pewno da się odkryć. Pytanie tylko czy naprawdę nam na tym zależy.
By dopełnić tą notke podam liczbę złożoną jaka spełnia warunek sumy kwadratów, ale nie jest liczbą pierwszą:
3^2+1^2=10
Takich przypadków tez jest nieskończenie wiele. Wnioskiem dla mnie więc jest oczywistym, że liczby spełniające warunek są częścią wspólna zbioru liczb pierwszych z zbiorem liczb złożonych.
tagi: nauka, matematyka, fizyka, Eratostenes, liczby pierwsze
