Eine w końcu przyznał, że matematyka nadaje się do czegoś więcej, niż do zawracania w głowie ludziom, a zwłaszcza fizykom.
Ark wziął się za proces Poissona (tu, tu, i tu), atakując go i od strony wzorów, i aksjomatów, i – przede wszystkim – losowości. I także od strony języka – hmm... „proces”... cóż to takiego – proces? I to jeszcze losowy!? Co to znaczy – losowy!?
Wprawdzie Simeon Poisson odkrył rozkład Poissona na początku wieku XIX, ale tak go nie nazwał (taka skromność rzadka dziś). Natomiast process Poissona, choć odkryli go inżynierowie na przełomie XIX i XX wieku, czekał na swe miano aż do lat 40-tych (podobno)
Norbert Wiener w rozdziale 11 swej słynnej pracy z roku 1938 na stronie 925 wprowadza tzw. „dyskretny chaos” (i zarazem oddaje honor von Neumannowi, odnosząc się do wspólnych dyskusji i konkluzji).
Dwa określenia mogą być niewłaściwie rozumiane, dlatego przetłumaczę je „ubikacyjnie” –
occupied– zajęty
empty– wolny (pusty, próżny)
Albowiem, gdy przyparty potrzebą pukasz w drzwi kabiny pytając – „jest tam kto”, to po usłyszeniu odpowiedzi „zajęte” szukasz dalej kabiny wolnej. Dlaczego nie „pustej”? Zbiór pusty ma w matematyce specyficzne znaczenie – zbiór bez żadnego elementu, a tu nie chodzi o taki. Kabina nie jest pusta, nawet gdy jest, bo wypełniona jest powietrzem, ma sedes, a może nawet papier toaletowy. Jest „wolna”.
Tu chodzi o pustkę fizyczną. Jeszcze raz - zaglądasz do pudełka, i mówisz: „tam nie ma nic”, choćby pudełko wypelnione było powietrzem, cząstkami jakichś gazów, ba! – nawet resztkami pizzy, obsadzonymi przez kilka nażartych much.
Zamieszczam wprowadzenie w wolnym tłumaczeniu, potem streszczenie dalszych wywodów. Komentarze [1], [2], ... zebrane będą na końcu.
Podzielmy całą n-wymiarową przestrzeń euklidesową dychotomicznie na zbiory o tej samej mierze, takie, że każdy z tych zbiorów składa się z dokładnie dwóch zbiorów, i kolejno te zbiory podlegają tym samym regułom. [1] Podzielmy te zbiory na dwie kategorie, „zajęte” i „wolne”. Żądamy, by prawdopodobieństwo tego, że zbiór jest wolny, zależało tylko od miary zbioru, oraz by zdarzenia pustki dwóch rozłącznych zbiorów były niezależne.
Załóżmy, że zarówno zajęte jak i wolne zbiory istnieją. Niech każdy podzbiór zbioru wolnego będzie wolny, zaś gdy zbiór jest zajęty, to niech przynajmniej jeden z dwóch podzbiorów podziału będzie zajęty.[5]
Zatem otrzymujemy nieskończony system probabilistyczny zajętości i pustki. Jako przestrzenią probabilistycznej możemy posłużyć się odcinkiem (0,1), zaś jako prawdopodobieństwem – zwykłą miarę długości.[4]
Dalej Wiener stwierdza [2], iż prawdopodobieństwo pustki zbioru S musi być wykładnicze
P(Sjest pusty)=exp(-A |S|),
gdzie |S| (u Wienera m(S)) oznacza miarę zbioru S (np., długość, pole powierzchni, objętość, etc.), zaś A jest pewną stałą, jednakową dla wszystkich zbiorów.
Na nowej stronie 926 pojawiają się „dane punkty”, które powodują „zajętość” [3]. Wobec tego pojawia się pytanie o liczbę punktów w zbiorach naszego systemu, i prawdopodobieństwo występowania jednego, dwóch, trzech,... i ogólnie, k „danych punktów” w zbiorze S.
W konsekwencji, z aksjomatów systemu łatwo wywnioskować (tak pisze Wiener), ż
P(S zawiera dokładnie k punktów )= exp(-A |S|) (A |S|)k/ k! ,
nie tylko dla zbiorów naszego systemu, ale dla dowolnego zbioru mierzalnego S.
Komentarze
[1] Zakładana dychotomia dopuszcza dowolne kształty. Nasuwa się pytanie, dlaczego Wiener nie stosuje prostej siatki. Np., na płaszczyżnie – podział wyjściowy mógłby byc kratą prostokątną, zaś każdy prostokąt dzielony byłby na dwa przystające prostokąty. Spróbuj sam – puste prostokąty zostaw białe, zajęte pokoloruj na czerwono.
Ale powyższe wymaga prostokątnego układu współrzędnych. Natomiast system Wienera może być stosowany na dowolnej (regularnej) powierzchni, nawet z górami i dolinami (regularnymi - raczej gładkie Bieszczady niż fraktalne Tatry). Wyobraź sobie 3- (lub n-)wymiarowy górzysty odpowiednik...
Jest jeden szkopuł... Jaki? (vide Komentarz [3])
[2] Spróbuj sam – nawet jaskiniowiec dałby radę!
[3] Do tego momentu w wywodzie pojęcie „pustki” było mniej więcej jasne. Aż tu nagle, Deus ex Machina, po przewróceniu strony, pojawiają się owe tajemnicze punkty losowe.
Później (str. 927) Wiener wyjaśnia, że miał na myśli cząsteczki gazu idealnego w stanie statystycznej równowagi zgodnie ze starą mechaniką statystyczną Maxwella.
Od istnienia punktów do ich zliczania w dowolnych (rozsądnych) zbiorach – rzeczywiście droga prosta.
Na odwrót – nie całkiem jasne. Na przykład, na płaszczyźnie, gdy dychotomia powstaje wskutek podziałów poziomych, poczynając od kratki jednostkowej, i gdy każdy prostokąt dzielony jest na dwa „poziome” prostokąty o tym samym polu połówkowym, wtedy bazy prostokątów będą wciąż miały jednostkową długość, jedynie wysokości dzieliłyby się kolejno na pół. W granicy dostalibyśmy nie punkty, ale jednostkowe poziome odcinki losowe.
Brakuje tu metryki – kolejne podzbiory powinny mieć średnice zmierzajace do zera, a bez metryki nie masz średnicy. W powyższym przykładzie kratkowym wystarczyłoby przeplatanie podziałów pionowych i poziomych, i wtedy rzeczywiście punkty pojawiłyby się w granicy.
[4] Skąd tu, i po co odcinek (0,1)?
Choć był to rok 1938, zaś Kołmogorow opublikował swoją pracę o aksjomatyce teorii prawdopodobieństwa w 1933, ale po niemiecku, więc podejście Kołmogorowa – dziś standardowe i powszechne – prawdopodobnie nie przebiło się jeszcze w szeroki świat, dopiero dekadę-półtora później. Wtedy dopiero pzrez angielskie tłumaczenie model Kołmogorowa wszedł na dobre w świat, szczególnie anglosaski. Przedtem, przez dekady, właśnie jednostkowy odcinek (0,1) służył jako standardowy model probabilistyczny.
Nawiasem mówiąc, oryginalna aksjomatyka Kołmogorowa różniła się od tej, którą dziś naucza się na lekcjach jako ... aksjomatyki Kołmogorowa. Różniła się i ontycznie, i epistemologicznie, jak by powiedział Eine. Ale to temat na inną opowieść, też długaśną.
[5] Na koniec pytanie:
Czemu Wiener zakłada, że podzbiór zbioru „wolnego” (pustego) jest „wolny” (pusty)? Czyż nie jest to oczywiste?
Ilustrując naszym „ubikacyjnym” przykładem – gdy wiesz, że ubikacja jest pusta, to każda kabina w niej musi być pusta, nie tak? Czy byłyby możliwe, na przykład, że dwie kabiny byłyby zajęte, ale ubikacja pozostawała wciąż pusta?
Ktoś wie, przypuszcza?
