W poprzedniej notce trochę instynktownie dokonałem modyfikacji wzoru która pozwoliła dokonać pozytywnej weryfikacji poprawności wyników
(1)
https://www.salon24.pl/u/przestrz/1060395,rachunek-sprawdzajacy-v-x-p-r-x-f
Jednak polegając wyłącznie na intuicji można się bardzo pomylić, dlatego zawsze należy udowodnić że dane rozwiązanie jest zawsze prawdziwe. Sprawa jest o tyle łatwa że niedawno analizując pochodną wektora momentu pędu byłem blisko uzyskania (1).
https://www.salon24.pl/u/przestrz/1053018,przyspieszenie-punktu-zwiazane-ze-zmiana-jego-momentu-bezwladnosci
Zapiszmy zasadę zachowania pędu dla jednego punktu trochę inaczej niż zazwyczaj ale myślę że ten zapis nie będzie budził kontrowersji
(2)
oraz zapis algebraiczny
(2a)
gdzie
rI to odległość punktu od osi obrotu dająca moment bezwładności I=mrI2
vω to prędkość punktu wynikająca z prędkości kątowej v = ω x r.
Punkt może posiadać składową wektora prędkości v wzdłuż wektora położenia rI ale ta składowa będzie dla wzoru (2) nieistotna ponieważ składowa równoległa nie ma wpływu na wynik iloczynu wektorowego. Składowa prędkości punktu prostopadła do wektora położenia jest zdeterminowana przez prędkość kątową v = ω x r. Na tym polega piękno matematyki, że mechanizmy równań są perfekcyjnie deterministyczne i nie ma tu miejsca na żadną przypadkowość czy sprzeczność, dwuznaczność. Każdy prawidłowo sformułowany puzzel perfekcyjnie pasuje do całości obrazu i nie ma tu miejsca na żadną niedoskonałość.
Patrząc na (2a) możemy wyliczyć wartości rI
(3)
możemy teraz sprawdzić czym jest zmiana rI
(4)
skracamy nieco ten zapis używając (2a)
(5)
i ponownie używając (2a)
(6)
proste przekształcenie (6)
(7)
i mamy dokładnie to czego szukamy (1). Szybko, łatwo i przyjemnie, trzeba mieć złą wolę aby nie chcieć tego zobaczyć.
