Elipsoidy bezwładności, energii, krętu i omegi, to pewne geometryczne zależności które bardzo ułatwią zrozumienie mechaniki obrotu BS. Próbowałem się o nich dowiedzieć z różnych źródeł, ale nie mam zbyt wiele możliwości ich zdobywania, a do tych do których udało mi się dotrzeć niestety panuje straszny bałagan i ciężko mi je zrozumieć. Pojęcia te wprowadził chyba Poinsot, który badał zastosowanie metod geometrycznych do mechaniki BS. W tamtych czasach nie było komputerów, a człowiek nie podróżował jeszcze w przestrzeń kosmiczną, przez co nie było możliwości obserwacji swobodnego obrotu BS. Owszem zauważono że według równań Eulera, wektor prędkości kątowej zachowuje się dziwnie, ale chyba nikt nie był świadomy jakie są tego konsekwencje. Czytając współczesne źródła, odnoszę wrażenie że przepisuje się te tezy bez ich rozumienia i nikt na poważnie się tym nie zajął aby temat zweryfikować z obecnymi faktami i uporządkować.
Spróbujmy to jakoś doprowadzić do ładu. Pójdźmy w ślady Poinsota i poszukajmy zależności geometrycznych które pomogą nam zrozumieć mechanikę obrotu BS.
„W ruchu obrotowym bryły sztywnej jej kształt jest w zasadzie bez znaczenia, gdyż jej ruch jest określony przez jej osie bezwładności. Każdej bryle, niezależnie od tego, jak nieregularny jest jej kształt i niejednorodna gęstość, odpowiada elipsoida bezwładności. Na ogół, jest to elipsoida trójosiowa a jej osie noszą nazwę głównych osi bezwładności. Długość każdej z tych osi jest proporcjonalna do momentu bezwładności względem tej osi.”
https://www.if.pw.edu.pl/~anadam/WykLadyFO/FoWWW_08.html
Zanim ci to napisze po Polsku, to najpierw trochę naukowego bełkotu.
Bezwładność jest wartością skalarną (nie wektorową). W BS gdzie główne momenty bezwładności mogą być różne, skalar ten przedstawia się w postaci tensora momentu bezwładności.
Ważne! Jeżeli główne momenty bezwładności są różne Ix≠Iy≠Iz, to istnieje tylko jeden układ współrzędnych gdzie osie główne I pokrywają się z osiami głównymi układu odniesienia.
W takim przypadku diagonalne wartości tensora momentu bezwładności są równe głównym momentom bezwładności BS.
Jeżeli osie główne I nie pokrywają się z osiami głównymi układu odniesienia, wtedy w tensorze momentu bezwładności pokazują się niezerowe elementy dewiacyjne, a wartości diagonalne nie równają się już głównym momentom bezwładności.
Jak używać tensora bezwładności na przykładzie wyliczenia wektora krętu pokazuje poniższa prezentacja str.11.
http://home.agh.edu.pl/~zak/downloads/Bryla%20sztywna.pdf
Teraz interpretacje graficzne.
Aby nieco ułatwić zrozumienie, użyje specjalnych przykładów w których elementy nas interesujące znajdują się na jednej płaszczyźnie czyli są płaskie. Dwuwymiarowe schematy łatwo jest odwzorować, ale należy pamiętać że są one poprawne tylko w szczególnych przypadkach.
Rysujemy dowolny wektor prędkości kątowej ω w układzie BS, czyli w układzie odniesienia gdzie główne momenty bezwładności pokrywają się z osiami głównymi układu. Teraz aby wyliczyć wektor krętu L, wystarczy pomnożyć składowe wektora ωx, ωy przez skalarne wartości głównych momentów bezwładności Ix, Iy.
L=(ωx*Ix, ωy*Iy, ωy*Iy)
Gdy dobierzemy odpowiedni układ odniesienia to te wszystkie bardzo skomplikowane rachunki, które przyprawiają większość o ból głowy, upraszczają się do takich prostych schematów, które każdy kto zna podstawy z Fizyki powinien bez większego trudu potrafić zrozumieć.
Wracamy teraz do elipsoidy momentu bezwładności, jak tego używać? Wektor prędkości kątowej ω w układzie odniesienia BS wyznacza chwilową oś obrotu która jest wzdłuż tego wektora. Miejsce przecięcia tej osi z elipsoidą daje wartość momentu bezwładności dla danej wielkości ω. Jak wiemy podczas swobodnego obrotu BS często dochodzi do samoistnej zmiany dω/dt, czyli wektor prędkości kątowej zmienia swoje położenie względem BS. Ponieważ jest to ruch swobodny czyli nie ma zewnętrznych oddziaływań, ale że dochodzi do dω/dt to zgodnie z prawem zachowania momentu pędu, nie skutkuje on zmianom wektora krętu. Mozna to zapisać następująco.
L=I1ω1=I2ω2=constans
Dlatego też w takich przypadkach wektor ω pomnożony przez wartość momentu bezwładności, daje zawsze taką samą wartość L. Czytałem o elipsoidzie krętu która ma symulować prawo zachowania krętu
L2=Ix2ωx2* Iy2ωy2* Iz2ωz2
ale nie jest to chyba najlepsze określenie, gdyż może sugerować że wektor krętu może przyjmować różne wartości. Jak z tego wybrnąć?
Ponieważ L=I1ω1=I2ω2=constans, to bardziej trafne wydaje mi się określenie sfera krętu gdyż wartość promienia sfery w czasie się nie zmienia. Mając więc elipsoidę momentu bezwładności i sferę krętu, można teraz wyliczyć elispoidę prędkości kątowej z wartości krętu L
Ω=(√L2)/Ix+(√L2)/Iy+(√L2)/Iz
Teraz mamy bardzo łatwy schemat geometryczny i wydaje mi się bardziej zrozumiały i bliższy prawdzie, aniżeli pojęcia elipsoidy krętu.
Pozostaje nam jeszcze elipsoida energii. Energia to
E=Iω2/2
I znów pojęcie elipsoidy jest dość mylne. Można by pomyśleć że energia może przybierać różne wartości a to nie jest prawdą. Używając samej energii dostalibyśmy kolejną sferę o promieniu równej wartości energii. Wiedząc że E jest stałe w czasie i tensor bezwładności jest stały w czasie, to możemy na podstawie tych dwóch wartości wyznaczyć elipsoidę.
Ponieważ kręt to
L=Iω
więc wzór na energię możemy zapisać jako
E=L2/2I
A więc wzór na energię to
E=L2/2Ix+L2/2Iy+L2/2Iz
Teraz wyznaczamy elipsoidę krętu na podstawie wzoru na energie
L2=2EIx+2EIy+2EIz
Jak wiemy podczas obrotu swobodnego BS działają: prawo zachowania krętu reprezentowane przez sferę krętu, oraz prawo zachowania energii reprezentowane przez elipsoidę 2EI. Oznacza to że aby te oba prawa zachować sfera krętu i elipsoida 2EI muszą się przecinać. Oznacza to że przy tej samej energii, wartość krętu może przyjmować różne wartości, o ile jego sfera przecina się z elipsoidą 2EI. I tak samo przy tej samej wartości krętu, energia prędkości kątowej może być różna o ile jej elipsoida 2EI przecina się ze sferą krętu.
Przy tej samej energii, kręt może przyjmować różne wartości w przedziałach
2IminE < L2 < 2ImaxE
Oznacza to teoretyczną możliwość zmiany wartości wektora krętu bez naruszenia prawa zachowania Energii. Zmianę kierunku wektora krętu który nie łamie prawa zachowania energii, widzimy w hipotetycznym układzie odniesienia BS, gdzie sztucznie przenosimy wektor krętu z układu inercjalnego, do układu nieinercjalnego gdzie ramiona BS czyli jej bezwładność pozostaje nieruchoma. Widać to na moich symulacjach.
https://www.youtube.com/edit?o=U&video_id=LZ9YwG9cVBE
Przy tej samej wartości krętu, energia musi się mieścić w przedziale
L2/2Imax < E < L2/2Imin
Oznacza to również że chociażby hipotetycznie można zmienić energie BS bez złamania prawa zachowania krętu.
Jednak w tym przypadku trzeba pamiętać że kręt jest wektorem, czyli samo zachowanie jego wartości nie jest jednoznaczne z zachowaniem jego kierunku, a zmiana taka jest już sprzeczna z prawem zachowania krętu. Jednak w nieinercjalnym układzie odniesienia BS gdzie bezwładność jest nieruchoma, okazuje się że wektor krętu porusza się na przecięciu sfery krętu i elipsoidy 2EI, pokaże to moja symulacja poniżej.
Mamy dość zaskakujący wniosek: złamanie prawa zachowania krętu nie musi oznaczać złamanie prawa zachowania krętu i złamanie prawa zachowania krętu nie musi oznaczać złamanie prawa zachowania energii.
Jest jeszcze jedno bardzo ważne zastosowanie energii. Możemy na jej podstawie wyznaczyć elipsoidę Ω wynikającą z prawa zachowania energii.
Ω2=2E/Ix+2E/Iy+2E/Iz
Elipsoida Ω z wektora krętu to
Ω2=(L/Ix)2+(L/Iy)2+(L/Iz)2
Przecięcie tych elipsoid wyznacza tor przemieszczania się końcówki wektora ω w czasie, który nie skutkuje złamaniem ani prawa zachowania energii, ani prawa zachowania krętu. A wygląda to mniej więcej tak.
A oto jak to wygląda na symulacjach.
