Na początku zaznaczę że wystąpił jakiś problem z formatowaniem tekstu których nie miałem poprzednio.
Tryb mojego studiowania mechaniki obrotu jest to głównie analiza po pracy, często w nocy lub weekendy i często przerywana dłuższymi przerwami gdyż nie tylko Fizyką człowiek żyje. Zagadnienie jest obszerne, wiele różnych materiałów, mnóstwo kalkulacji i wyników do analizy. Łatwo coś przeoczyć lub coś błędnie zakodować w głowie, zwłaszcza że w podręcznikach nie ma wszystkiego (o tym za chwilę). Dlatego też pojawiają się błędy których być nie powinno. Najgorsze jest to że działam sam i brakuje spojrzenia z zewnątrz i wyłapywanie błędów do korekty.
Sprawdzałem mnóstwo wektorów wydawało mi się że sprawdziłem też wypadkową sił działających na punkt i jest ona zgodna ze wzorem na przyspieszenie dośrodkowe:
(1)
Mimo że krytykantów jest wielu to znam tylko jedną osobę która umiała by skonfrontować moje wyniki, Dlatego też molestuje od długiego czasu profesora Jadczyka by to zweryfikował, niestety bezskutecznie profesor pozostaje nieugięty i nie pokazuje najmniejszego fragmentu swoich kalkulacji. Ostatnio padła jednak deklaracja że pokaże on wypadkowe sił działających na punkty wąskiego cylindra obracającego się wokół własnej osi.
Akurat taki przykład jest dość prosty i w dodatku nie ukaże kilku detali które chcę pokazać ale może stanowić dobrą bazę do postawienia następnych pytań. Niestety obawiam się że na deklaracji się skończy, ponieważ publikacja takiej symulacji już na wstępie obali tezę że wypadkowa sił działających na punkt jest siłą centralną. Ponieważ przy swobodnym obrocie ciała sztywnego, jedyne siły jakie działają na punkt to siły więzów, więc obalone będzie książkowe stwierdzenie że siła więzów jest siłą centralną, co z resztą profesor w komentarzu nie ukrywa. Kiedy przełamie się jeden stereotyp, zaczną się pytania co z innymi tezami książkowymi a według mnie tych błędnych interpretacji jest więcej.
Czytelnik Bjab podał inny wzór na wypadkową sił działających na punkt na bazie wzoru
dv/dt = (dω/dt) x r + ω x (dr/dt) = ε x r + ω x v (2)
W książkach wzór ten jest wyjaśniany na przykładzie ruchu po okręgu. W takim przypadku przyspieszenie kątowe ε jest na kierunku prędkości kątowej ω i skutkuje przyspieszeniem liniowy punktu. Jedyną możliwością istnienia takiego przyspieszenia w tym przypadku jest oddziaływanie siły zewnętrznej (zewnętrzny moment siły). Przy swobodnym ruchy zawsze człon ε x r=0. Mimo że swego czasu długo szukałem nigdzie nie znalazłem jak wygląda ten wzór gdy przyspieszenie kątowe jest prostopadłe do wektora prędkości kątowej. Książki wykluczają istnienia wewnętrznych przyspieszeń kątowych i skoro nie ma wewnętrznych przyspieszeń to przy swobodnym obrocie człon ε x r powinien zawsze wynosić zero. Niby wiem że tak nie jest ale jak Bjab mnie zapytał, odpowiedziałem tak jak jest w książkach. Powtórzyłem więc błędny schemat któremu sam przeczę ale teraz sobie to już uświadomiłem. Będę to jeszcze sprawdzał ale wzór Bjab jest prawdopodobnie prawidłowym wzorem na wypadkową siłę więzów (trzeba (2) pomnożyć przez masę punktu). Widać to na mojej symulacji, suma przyspieszeń to wektor czerwony, bladoniebieski to przyspieszenie doosiowe.
Jest postęp, Bjab swoim stwierdzeniem przyznał się do istnienia wewnętrznego przyspieszenia kątowego i przyznał że bardziej precyzyjnym określeniem sił dośrodkowych jest nazwanie ich siłami doosiowymi. Patrząc na to że Jadczyk przyznał ze siły więzów nie są siłami centralnymi to powoli pęka twarda skorupa błędnych książkowych schematów. Ja też myślałem że sprawdziłem że wypadkowa sił to siły doosiowe jednak byłem w błędzie. nie popełniłem błędu we wzorach a w ich interpretacji.
Wzory Eulera są pokazane tylko dla jednej sytuacji, gdy główne momenty bezwładności pokrywają się z głównymi osiami układu odniesienia. Błędnie jest to interpretowane że wzory te ukazują nieinercjalny układ odniesienia, gdyż wzory te odnoszą się do inercjalnego okładu.
Uzupełnijmy te wzory
Zawsze możemy dobrać układ odniesienia tak aby tensor bezwładności był macierzą diagonalną
(3)
Daje nam to postać wzorów Eulera które spotkać można w książkach
(4)
Zapis tych wzorów dla masy o współrzędnych
m (rx, 0, 0)
i prędkości kątowej
ω(ωx, ωy, 0)
tylko trzecie równanie jest różne od zera i można je zapisać za pomocą iloczynu wektorowego
stąd wnioskowany wzór na moment siły
(5a)
Z równania (5) dostajemy wszystkie dane potrzebne do wzoru Bjab (2) z tym że przyspieszenie kątowe będzie przyspieszenie kątowe bryły sztywnej, czyli sumą wektorów przyspieszeń kątowych wszystkich punktów.
Jednak jest to przypadek szczególny. Jak wyglądają wzory Eulera dla dowolnej chwili i dowolnego układu odniesienia?
Mamy
(6)
Wektor momentu pędu to
(7)
Wektor momentu siły
(8)
Baza dla wzorów Eulera
(9)
czyli z (6)
(9a)
moment siły mamy to (8) a iloczyn wektorowy to
(10)
Za moment pędu możemy podstawić (7).
Pełne rozpisanie wzorów Eulera (9) wymaga podstawienia momentu siły (8) i iloczynu wektorowego (10) na bazie wektora momentu pędu (7). Wyniku tego uzyskamy trzy bardzo długie równania które można zastosować dla każdej chwili.
Teraz muszę wprowadzić korekty do mojego skryptu.
Komentarze