ciągłość czy continuum, oto jest pytanie

W wątku Elektrodynamika dla bardzo opornych zadałem blogerowi SYZYF pytanie:

Funkcja tangens jest ciągła?

a on odpowiedział (05.06.2012 23:21):

Nadanie innej nazwy liczbom naturalnym nic tu nie zmieni...

Ta odpowiedź wskazuje, że funkcja tangens jest albo ciągła albo nieciągła.

W tych okolicznościach zaglądam do Wikipedii i czytam:

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej (określona na całym zbiorze $\Bbb R$ lub jego podprzedziale, skończonym lub nie) może być postrzegana jako ciągła, jeżeli jej wykres można „narysować bez odrywania ołówka od papieru” (bez ograniczeń w czasie lub przestrzeni).

Nie potrafię narysować wykresu funkcji tangens na niezawiniętej płaszczyźnie Euklidesa "bez odrywania ołówka od papieru"

bo tangensoida ma jeden koniec na dole, a drugi u góry i to ładnie widać w pobliżu takich punktów jak 90° (π/2) , a więc funkcja tangens jest nieciągła.

Wchodzę dalej do Wikipedii i czytam dalej:

"Wartość bezwzględna a. moduł – dla danej liczby rzeczywistej wartość liczbowa nieuwzględniająca znaku liczby."

Tangensoida w wartościach bezwzględnych także będzie nieciągła, bo dla takich kątów jak 90° (π/2), jest po prostu nieokreślona:

radiany	$0\;$	$\frac{\pi}{12}$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{5\pi}{12}$	$\frac{\pi}{2}$
stopnie	$0^\circ\;$	$15^\circ\;$	$30^\circ\;$	$45^\circ\;$	$60^\circ\;$	$75^\circ\;$	$90^\circ\;$
$\sin\;$	$0\;$	$\tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$1\;$
$\cos\;$	$1\;$	$\tfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$0\;$
$\operatorname{tg}\;$	$0\;$	$2-\sqrt{3}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1\;$	$\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$	nieokreślony
$\operatorname{ctg}\;$	nieokreślony	$2+\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$	$1\;$	$\tfrac{\sqrt{3}}{3}$	$2-\sqrt{3}$	$0\;$
$\sec\;$	$1\;$	$\tfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$	$\tfrac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	$2\;$	$\tfrac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$	nieokreślony
$\csc\;$	nieokreślony	$\tfrac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$	$2\;$	$\sqrt{2}$	$\tfrac{2\sqrt{3}}{3}$	$\tfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$	$1\;$

http://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcje_trygonometryczne

a liczby nieokreślonej takiej jak tg(pi/2) = sin(pi/2)/cos(pi/2) = 1/0 nie rysuje się, bo takie liczby są nieznane i nie wiadomo, czy są elementami zbioru $\Bbb R$

Z braków odpowiedzi jakie dostaję od rozmówców wyłania się taki obraz współczesnych poglądów na ten temat:

Funkcja tangens tg(x) dla x dążących do pi/2 dąży do nieskończoności →∞ lecz nie wiadomo czy ją osiąga i nie wiadomo jaką ma wartość w punkcie x=pi/2 bo taka liczba 1/0 nie jest znana.

Nie wiadomo także, czy funkcja tamgens jest nieokreślona tylko dla samego punktu x=pi/2 czy również dla otoczenia tego punktu, a więc punktów położonych bardzo blisko pi/2.

pytanie:

Czy powyższa Wielka Tajemnica Wiary Matematycznej jest TABU i czy wolno rozwiązać tę zagadkę?

mędrzec Edward Robak* z Nowej Huty