„- Czyli każdemu widelcowi musi odpowiadać dokładnie jeden nóż?”

Witam pięknie – to moja pierwsza wizyta. 
Dobrym przykładem łączenia elementów w pary jest zbiór monet. Moneta M stanowi parę, bowiem ma swój własny awers A i rewers R (por: dwie strony medalu).
Jest uzasadnione twierdzenie, że te zbiory są równoliczne:
{M} = {A} = {R}
Ludzie potrafią wykonać taką monetę, która po obu stronach będzie miała awers (z obu stron to samo).
Jeśli taką monetę dołączymy do nieskończonego ∞ zbioru monet normalnych, to będzie nieskończenie wiele monet AR i jedna moneta AA
Czy wówczas zbiory {A} i {R} nadal będą równoliczne?
Jak to sprawdzić?
Można (tak sądzę) zastosować bijekcję Cantora i z tego nowego zbioru odłączyć wszystkie monety normalne AR a pozostanie moneta AA.
pytanie:

W dziedzinie zbiorow nieskończonych zbiory pozostaną jednak równoliczne.
Oczywiście na gruncie cantorowskiej definicji równoliczności.
Oczywiście jest to inna bijekcja niż ta, którą Pan sugeruje; ale wystarczy, że istnieje choć jedna.

Faktycznie swoim komentarzem pragnę zasiać w czytelnikach pewną wątpliwość, bo jak widać są zaprezentowane dwie bijekcje, obie oparte na gruncie cantorowskiej definicji równoliczności – ale względem siebie sprzeczne.
Czy jest jakiś sposób by jedną z nich wykluczyć jako fałszywą?

Pierwsze pytanie budzące moją wątpliwość dotyczy zdania: „możemy ponumerować wszystkie awersy liczbami naturalnymi od 1 do nieskończoności, a wszystkie rewersy liczbami naturalnymi od 2 do nieskończoności”

Czy da się ponumerować wszystkie awersy nie kończąc numerowania?
Numeruje się po kolei: 1, 2, 3, 4, itd a każdy nowy numer ma poprzednik i każdy wyraża liczbę skończoną. Jak ponumerować wszystkie awersy w zbiorze, który choć ma nazwę przeliczalny – to nie ma ostatniego elementu z założenia, a nawet gdyby to się udało to uzyskana liczba byłaby liczbą skończoną?
Czegoś mi tu brakuje: sposobu numerowania wszystkich elementów zbioru nieskończonego…
Gdzie robię błąd? 

Sprzeczności nie ma, bo pańska „bijekcja” – której nie opisał Pan żadnym wzorem, ani dokładnym objaśnieniem reguł konstrukcji – nie jest tak naprawdę bijekcją.

Wytłumaczę się. Korzystam z definicji określanej nazwą: „Naive set theory” (naiwna teoria mnogości), która jest definiowana nieformalnie w języku naturalnym, w oparciu o logiczną zasadę wyłączonego środka: jeśli a=/=b to a nie b.
Z tego powodu ‚naiwna teoria mnogości’ jest wolna od paradoksów. Po polsku tę definicję można znaleźć np. w Popularnej Encyklopedii Powszechnej Wydawnictwa Fogra, a udostępnionej w witrynie http://portalwiedzy.onet.pl/
- – - – - – - – - – - – - – - – - – - – - – - – - – - – - – - – - – - -
Bijekcja, matematyczna relacja pomiędzy zbiorami A i B taka, że każdemu elementowi zbioru A przyporządkowany jest dokładnie jeden element zbioru B i wzajemnie: każdemu elementowi zbioru B przyporządkowany jest dokładnie jeden element zbioru A. Bijekcja jest suriekcją i jednocześnie iniekcją.
- – - – - – - – - – - – - – - – - – - – - – - – - – - – - – - – - – - -
Oryginalne prace Cantora także należą do naiwnej teorii mnogości i mają tę cechę, że operuje się na zbiorach pełnych, a więc funkcja „dążenie do” jest zbyteczna (por. nieskończony hotel Hilberta, w którym wszystkie pokoje są już zajęte).

każdemu awersowi odpowiadałby dokładnie jeden rewers, a każdemu rewersowi dokładnie jeden awers.

Moneta M stanowi parę, bowiem ma swój własny awers A i rewers R
Jedna moneta M posiada jeden awers A i jeden rewers R
1 = 1/1
Klasyczna algebra Diofantosa pokazuje, że proporcja {A}/{R} nie zależy od ilości monet bowiem te ilości się upraszczają:
dla x∙M x∙A / x∙R = x/x ∙ A/R = 1 ∙ 1 = 1

W takim razie zaś podany przez Pana przykład nieskończonego zbioru awersów nie miałby uchwytnego sensu — a nie miałby dlatego, że pańskiego wyobrażenia (zbioru awersów) nie można byłoby w żaden sposób uściślić.

Gdybym ja miał uczniom szkół średnich i zwykłym ludziom opowiedzieć maksymalnie prosto jak powstaje nieskończony zbiór monet (par awersów i rewersów) – to przywołałbym hotel Hilberta w którym jest nieskończenie wiele pokoi, a każdy pokój jest zajęty przez pojedynczego gościa. Wystarczy wyobrazić sobie, że każdy gość wystawia na korytarz jedną monetę, a te monety utworzą zbiór.

Gdyby tak się zdarzyło, że ktoś monety by nie wystawił
-to-
taki zbiór monet nie miałby ciągłości (z wyłączeniem pierwszej i ostatniej), bo odległość pomiędzy dwiema sąsiadującymi monetami byłby 2 wg numeru pokoju.

n n+1 n+2
M      M
n+2 – n = 2

Jeśli jest już Pan zmęczony tą – jałową być może – dyskusją, to nie ciągnijmy jej dalej.
Zostawmy siły na inne tematy  .

Mnie rozmowy o nieskończonościach nie męczą. 
Sądzę też, że jakikolwiek temat będzie związany z nieskończonością, to zawsze pojawi się pytanie
czy słowa: wszystkie elementy zbioru nieskończonego są sprzeczne z założeniem, że zbiór nieskończony nie ma ostatniego elementu?
Uważam, że problem dotyczy nie tylko zbiorów nieskończonych, ale przede wszystkim uściślenia: co to jest dowód w matematyce. 

potocznie rzecz ujmując myślimy o przeliczaniu zbioru nieskończonego jako stawianiu kolejnych kroczków na drodze: najpierw 1, potem 2, dalej 3 itp. Oczywiście „idąc” w ten sposób nigdy nie osiągniemy „końca” zbioru nieskończonego, gdyż ex definitione nie ma on końca rozumianego jako ostatni/największy pojedynczy element.

Dokładnie to miałem na myśli gdy pisałem: zawsze pojawi się pytanie
czy słowa: wszystkie elementy zbioru nieskończonego są sprzeczne z założeniem, że zbiór nieskończony nie ma ostatniego elementu?

Niech będzie ten obustronnie domknięty przedział w zbiorze liczb rzeczywistych. W geometrii klasycznej taki przedział jest równoważny jakiemuś konkretnemu odcinkowi na osi liczbowej. Możemy się umówić, że ten odcinek to zbiór punktów z których ten pierwszy ma nazwę ’0′ a ten ostatni ma nazwę ’1′.
W doświadczeniu myślnym można po takim odcinku przetoczyć okrąg od punktu ’0′, a okrąg ten zatrzymał się na punkcie ’1′ (chodzi oczywiście o styk) i pytania dotyczące tego odcinka:
   • czy punktów na tym odcinku jest nieskończenie wiele?
   • czy okrąg tocząc się miał styk z każdym?
   • czy wszystkie punkty miały styk z okręgiem?
   • czy punkt ’1′ jest ostatnim z którym okrąg miał styk?

Jeśli na ostatnie pytanie odpowiemy TAK, to powstanie sprzeczność z założeniem, że „nigdy nie znajdziemy elementu ostatniego”. Co ciekawsze:
punktów na tym odcinku jest więcej niż wszystkich możliwych liczb naturalnych, dlatego w swoim poście zapytałem: co to jest dowód w matematyce?
Czy fakt, że okrąg znajduje się na ostatnim punkcie odcinka to jest dowód, że jednak ostatni element zbioru nieskończonego da się osiągnąć krok po kroku?
Gdyby to był dowód, to założenie o braku ostatniego elementu byłoby założeniem fałszywym… 

Oczywiście nie da się „przetoczyć” jakiegokolwiek REALNIE (czyli fizycznie, materialnie) istniejącego okręgu przez jakikolwiek odcinek prostej rzeczywistej

Tu zaszło jakieś nieporozumienie. Ja nie pytałem o realne przetoczenie okręgu po odcinku, lecz o idealizację matematyczną. Prawdziwe koło, które toczy się po jezdni zbudowane jest z atomów, a to samo koło w idealizacji geometrycznej już od czasów Euklidesa zbudowane jest z punktów. Styk okręgu z linią także znany jest od tysięcy lat (styczna), a ilość tych punktów styku jest dokładnie taka sama jak ilość przekrojów Dedekinda (cięcia na zbiorze o porządku liniowym). Nie napisałem więc nic co wcześniej matematyce nie byłoby znane, a chodziło mi przede wszystkim o to by uzyskać odpowiedzi WPROST na moje pytania, które powtórzę:
      • czy punktów na tym odcinku jest nieskończenie wiele?
      • czy okrąg tocząc się miał styk z każdym?
      • czy wszystkie punkty miały styk z okręgiem?
      • czy punkt ’1′ jest ostatnim z którym okrąg miał styk?

Ja odpowiedziałbym cztery razy TAK.

Jeśli nie czuje się Pan na siłach, by odpowiedzieć na te pytania, to może lepiej nic nie pisać, żeby nie zgubić tej myśli wiodącej zawartej w czwartym pytaniu? 

Żeby nie przeciągać tej rozmowy w nieskończoność, gdy jeden pyta, a drugi nie widzi pytań – proponuję by kliknąć na link:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Pi-unrolled-720.gif
na którym okrąg toczący się po linii zaznacza odcinek o długości równej π.
To jest geometria – dział matematyki prawie tak stary jak ludzkość.
Platon nad drzwiami do swej Akademii umieścił napis:
AGEOMETRETOS MEDEIS EISITO
a więc chcąc rozmawiać o geometrii trzeba chcieć ją poznać. Nie wystarczy znajomość założeń innych teorii, oderwanych od realiów i modeli.
W geometrii nie ma czegoś takiego jak nazywanie pytań „pseudoproblemami” tak samo jak nie ma odcinków jednostronnie czy obustronnie otwartych.
Kij ma zawsze dwa końce, a ta ludowa mądrość w przełożeniu na język geometrii oznacza, że każdy odcinek, wycinek, krzywa ciągła – ma zawsze punkt pierwszy i punkt ostatni. Każdy punkt ma poprzednik za wyjątkiem pierwszego puntu, który nie ma poprzednika na tym odcinku
i każdy punkt ma następnik za wyjątkiem punktu ostatniego, który nie ma następnika na tym odcinku; przy czym ostatni jest pierwszym od końca.

Liczba π nazywana jest liczbą niewymierną, bo ludzie nie umieją jej zapisać za pomocą ilorazu dwóch liczb całkowitych p/q. Ta nieumiejętność wynika z założenia, że „nie osiągniemy elementu granicznego zbioru”
a więc najpierw zakłada się, że czegoś się nie da
później z założenia robi się definicję
a następnie ex definitione kreuje się wewnętrznie sprzeczną tautologię:
Achilles nigdy nie dogoni żółwia, bowiem go dogania.

Natomiast zbiór nieskończony, to po prostu zbiór, który nie jest skończony.

Odcinek jest jak najbardziej skończonym zbiorem punktów, choć tych punktów jest więcej niż wszystkich liczb naturalnych.

Przy czym nieistotne jest, czy istnieje w nim element maksymalny („ostatni”) lub minimalny („pierwszy”).

Ależ to jest przecież najważniejsze gdy mowa o wszystkich elementach zbioru nieskończonego.
Słowo wszystkie oznacza:
od pierwszego do ostatniego

nie wskażemy już np. elementu drugiego lub przedostatniego

Nie wskażemy dopóki nie zrozumiemy co znaczą słowa Cantora:
zbiór dobrze uporządkowany
Niektórzy już to wiedzą – pozostali jeśli chcą wiedzieć, to muszą wpierw zrozumieć.

Tyle tytułem mojego ostatniego komentarza w tej zaiste jałowej dyskusji.

Zgadzam się, że ta wymiana postów była jałowa, bo nie przyniosła odpowiedzi na moje pytania, a więc traciłem czas… Może ktoś inny zrozumie, że okrąg tocząc się po odcinku zaznacza wszystkie punty po kolei i zatrzymuje się na ostatnim w danym przedziale, a kolejny punkt jest już poza tym przedziałem…
Wszystkich punktów zaznaczonych ma odcinku o długości ’1′ jest continuum = C
a kolejny punkt C+1 nie należy już do tego zbioru.
Jest liczbą większą od C.
 .