Klasyfikacja liczb.
Liczby dobrego sortu to te liczby, które mają (mogą mieć) swoje nazwy.
Liczby gorszego sortu to te liczby, które nie mają (nie mogą mieć) swoich nazw.
Innymi słowy, liczby dobrego sortu to liczby obliczalne, a liczby gorszego sortu to liczby nieobliczalne.
Fajnie by było, gdybyśmy mogli sobie powiedzieć, że skoro liczby gorszego sortu nie mają swoich nazw to w ogóle nie istnieją, i że w ogóle nie są to liczby. Niestety, cywilizacja dopuściła do zakorzenienia się przekonania, że istnieje zbiór liczb rzeczywistych.
Konsekwencją przyjęcia założenia istnienia zbioru liczb rzeczywistych jest konieczność istnienia liczb gorszego sortu. Wynika to z prostego następującego wnioskowania. Zbiór nazw jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym a zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny. Za mało jest zatem nazw aby nazwać każdą liczbę rzeczywistą. Muszą więc istnieć w zbiorze liczb rzeczywistych liczby bez nazwy czyli liczby gorszego sortu.
Liczby gorszego sortu są ułomne, są mało przydatne, w zasadzie pałętają się bez potrzeby i jedynie przeszkadzają.
Ludzie wymyślili liczby do liczenia i porównywania. Istnienie liczb gorszego sortu zaburza te czynności gdyż przy ich użyciu nie dostajemy ścisłych rezultatów a jedynie co najwyżej rezultaty przybliżone. Liczba gorszego sortu nie ma nazwy, jest nieobliczalna, czyli nie istnieje algorytm pozyskujący jej kolejne cyfry w rozwinięciu pozycyjnym. Liczba gorszego sortu może być zatem pozycjonowana jedynie w sposób przybliżony np. że należy do przedziału (a, b) gdzie a i b to liczby dobrego sortu.
Kwestia aksjomatu wyboru.
Matematyka polega na definicjach i aksjomatach. Można nawet powiedzieć, że matematyka nie jest jedna, że matematyk jest wiele, w zależności od przyjęcia określonego zestawu definicji i aksjomatów.
Istnienie aksjomatu wyboru (jak również istnienie każdego innego aksjomatu) powoduje rozgałęzienie matematyki na trzy różne matematyki.
Można rozważać matematykę, w której przyjmuje się aksjomat wyboru.
Można rozważać matematykę, w której przyjmuje się zaprzeczenie aksjomatu wyboru.
Można rozważać matematykę, w której aksjomat wyboru jest nierozstrzygalny.
Aksjomat wyboru mówi, że:
istnieje zbiór zawierający dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do danej rodziny niepustych zbiorów rozłącznych.
Przypatrzmy się przypadkowi gdy tę rodzinę stanowią dwa zbiory A i B, takie, że do zbioru A należą wszystkie te liczby rzeczywiste, które są dobrego sortu, a do zbioru B należą wszystkie pozostałe liczby rzeczywiste czyli wszystkie liczby rzeczywiste gorszego sortu.
W tym przypadku aksjomat wyboru mówi nam, że istnieje zbiór dwuelementowy (nazwijmy go C), do którego należy jeden element ze zbioru A i jeden element ze zbioru B. Niestety mamy pewien niedosyt. Przyjmując aksjomat wyboru wiemy, że taki zbiór C istnieje, ale w zasadzie niewiele więcej możemy powiedzieć, gdyż nie możemy ściśle dookreślić jaki jest ten zbiór C, gdyż nie możemy podać nazwy drugiej liczby należącej do niego, gdyż liczba ta jest gorszego sortu.
A jaki jest stosunek do aksjomatu wyboru moich Szanownych Czytelników?
