W poprzedniej mojej notce omawialiśmy całkowanie wyrażenia 1/(s2+1) po ds.
Tytuł obecnej notki jest łudząco podobny do tytułu tej poprzedniej. Jest jednak pewna różnica - mianownik jest podniesiony do kwadratu.
Spróbujemy tym razem sami znaleźć jaką funkcją jest
Czy tą funkcją jest 1/(s2+1) + C ?
Sprawdźmy.
Różniczkujemy 1/(s2+1).
Korzystając z zasady obliczania pochodnej ilorazu funkcji: (f(x)g(x))' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / g2(x)
mamy:
(1/(s2+1))' = [0·(s2+1) - 1·2s ] / (s2+1)2
czyli
(1/(s2+1))' = -2s / (s2+1)2
To co otrzymaliśmy po prawej stronie równania jest bliskie naszej funkcji podcałkowej ale -2s w liczniku jednak przeszkadza.
Spróbujmy co się stanie gdy włożymy s do licznika czyli sprawdźmy czy poszukiwaną funkcją jest
s/(s2+1) + C .
Różniczkujemy s/(s2+1).
Korzystając z zasady obliczania pochodnej ilorazu funkcji: (f(x)g(x))' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / g2(x)
mamy:
(s/(s2+1))' = [1·(s2+1) - s·2s ] / (s2+1)2
czyli
(s/(s2+1))' =[1 - s2] / (s2+1)2 .
Tym razem licznik, na pierwszy rzut oka wydaje się jeszcze gorszy niż w poprzedniej próbie bo tym razem przeszkadza s podniesione do kwadratu.
Ale w poprzedniej mojej notce nauczyliśmy się całkować wyrażenie 1/(s2+1) czyli nauczyliśmy się całkować wyrażenie
Komentarze