Blog
Zagadnienia
Tomej
Tomej Rozważacz
0 obserwujących 30 notek 11110 odsłon
Tomej, 13 września 2017 r.

Całka z 1/(s^2 +1)^2

W poprzedniej mojej notce omawialiśmy całkowanie wyrażenia  1/(s2+1) po ds.

Tytuł obecnej notki jest łudząco podobny do tytułu tej poprzedniej. Jest jednak pewna różnica - mianownik jest podniesiony do kwadratu.

Spróbujemy tym razem sami znaleźć jaką funkcją jest

image.



Czy tą funkcją jest 1/(s2+1) + C ?

Sprawdźmy.

Różniczkujemy 1/(s2+1).

Korzystając z zasady obliczania pochodnej ilorazu funkcji: (f(x)g(x))' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / g2(x)

mamy:

(1/(s2+1))' = [0·(s2+1) - 1·2s ] / (s2+1)2 

czyli

(1/(s2+1))' = -2s / (s2+1)2 

To co otrzymaliśmy po prawej stronie równania jest bliskie naszej funkcji podcałkowej ale -2s w liczniku jednak przeszkadza.


Spróbujmy co się stanie gdy włożymy s do licznika czyli sprawdźmy czy poszukiwaną funkcją jest

s/(s2+1) + C .


Różniczkujemy s/(s2+1).

Korzystając z zasady obliczania pochodnej ilorazu funkcji: (f(x)g(x))' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / g2(x)

mamy:

(s/(s2+1))' = [1·(s2+1) - s·2s ] / (s2+1)2 

czyli

(s/(s2+1))' =[1 - s2] / (s2+1)2 .

Tym razem licznik, na pierwszy rzut oka wydaje się jeszcze gorszy niż w poprzedniej próbie bo tym razem przeszkadza s podniesione do kwadratu.

Ale w poprzedniej mojej notce nauczyliśmy się całkować wyrażenie 1/(s2+1) czyli nauczyliśmy się całkować wyrażenie

(s2+1)/(s2+1)2 
i wiemy że wynikiem jest arctan(s) + C.

Jeśli więc zróżniczkujemy wyrażenie s/(s2+1) + arctan(s) to otrzymamy:
(s/(s2+1) + arctan(s))' = (s/(s2+1))' + arctan'(s) = [1 - s2] / (s2+1)2  + (s2+1)/(s2+1)2 
czyli
(s/(s2+1) + arctan(s))' = 2 / (s2+1)2 
a to jest raptem dwa razy więcej niż nasza funkcja podcałkowa.

Zatem udało nam się. Odkryliśmy, że
image


Opublikowano: 13.09.2017 15:35.
Autor: Tomej
Skomentuj Obserwuj notkę Napisz notkę Zgłoś nadużycie
NEWSY - TOP 5

Ostatnie notki

Najpopularniejsze notki

Ostatnie komentarze

  • @deda # obserwator ( bez aparatu fotograficznego) zobaczyłby to , co na zdjęciu # Tak, ale (w...
  • @deda Rower o eliptycznych kółkach wcale nie powinien być nazwany błędnym. W układzie...
  • @deda # Natomiast sześcian nie ulega relatywistycznej deformacji do prostopadłościanu, tylko...

Tematy w dziale