W poprzedniej notce o mechanice kwantowej nieśmiało napisałem, że równanie Schrödingera dość bezproblemowo przyjęło spin czy oddziaływanie z polem magnetycznym. Twórcy mechaniki kwantowej przyłożyli się, żeby odnaleźć ogólniejsze zasady, według których buduje się modele opisujące zjawiska kwantowe. Poniżej postaram się streścić wyniki ich prac:
Na początek miło byłoby mieć jakąś wielkość matematyczną, która zawierałaby informacje o naszym układzie, jaki chcemy opisać. Czasami będzie to funkcja falowa (np. dla cząstki przelatującej przez dwie szczeliny, czy zbioru elektronów w atomie) czasami coś innego (np. spin można opisać za pomocą dwóch liczb zespolonych). Takie obiekty nazywa się wektorami stanu[1]. Tworzą one zbiór, w którym można takie stany dodawać do siebie i mnożyć przez liczby zespolone. W algebrze nazywa się taki twór przestrzenią liniową albo wektorową[2].
Wielkości fizyczne (położenie, pęd, energia, moment pędu itp.) zwane dla niepoznaki „obserwablami”, również mają swoje „kwantowe odpowiedniki”. Są nimi operatory działające w przestrzeni stanów[3]. Przy okazji równania Schrödingera, poznaliśmy już operator energii (z racji historycznych operator energii to literka H a nie E):
H = –(ħ2/2m)Δ + V
Narzuca się pytanie: jak operator zadziała na stan, to co otrzymamy w wyniku?
Aψ = φ
Czy możemy powiedzieć coś mądrego o takim stanie φ? Ano nic ciekawego. To po prostu jakiś inny stan, który w zasadzie nie ma nic wspólnego ani z ψ ani z A. Jedyny przykład, ale za to bardzo ważny, kiedy badamy tego typu równania to przypadek znajdowania tzw. wartości własnych:
Aψ = aψ
Co w wyniku dostaniemy? Przede wszystkim możliwe wartości obserwabli A oznaczone tu jako a, oraz zbiór stanów własnych tej obserwabli. Szczególny przypadek takiego równania to stacjonarne równanie Schrodingera:
Hψ = Eψ
Oblicza się z niego możliwe energie i stany mające te energie.
Mając stan i operator obserwabli możemy policzyć prawdopodobieństwa, że w wyniku pomiaru dostaniemy taki a nie inny wynik.[4] Procedurę obliczania tych prawdopodobieństw sobie odpuszczę, napiszę tylko tyle, że dla pomiaru położenia cząstki opisywanej funkcją falową ψ, będzie to znany już kwadrat modułu: |ψ(x)|2.
Czy można przewidzieć jak będą zmieniać się stany w czasie? Tak, za pomocą czasowego równania Schrodingera:
iħ(∂/∂t)ψ = Hψ
Dane tu jest operator energii H i stan początkowy ψt=0. Kiedy rozwiążemy to równanie, to poznamy jaki będzie stan ψ w przyszłości (albo w przeszłości).
Jeszcze trzy uwagi:
Po pierwsze: parę akapitów wyżej akapicie pojawiło się słowo pomiar. Powiem wprost: pomimo, że interpretacja operatorów i wektorów stanu wciąż mówi o „pomiarze”, to jego status w teorii pozostaje niejasny. Co ciekawe, zdaje się, że to przypadłość głównie nierelatywistycznej teorii kwantów.
Po drugie równanie Schrödingera nie opisuje tzw. skoków kwantowych[5], czyli np. przeskoków ze stanu wyższego do niższego, kiedy atom emituje foton. I znów jak w poprzednim punkcie problem dotyczy kwantówki nierelatywistycznej.
Po trzecie: Aksjomatyzacja zasad mechaniki kwantowej, pokazała, że pojedyncze prawidła i przepisy, są przypadkami szczególnymi ogólniejszych zasad. Stało się to jednak za cenę sporej pracy, jaką należało wykonać, by wszystkie, użyte wielkości matematyczne nabrały sensu. Co więcej, w sposób ścisły zrobiono to jedynie dla przypadku nierelatywistycznego.
Mam nadzieję, że wyzucie notki z większości matematyki, jaka jest stosowana przy rozpatrywaniu zagadnień kwantowych nie zrobi nikomu krzywdy.
[1] Uprzedzam, że wektor stanu jest obiektem matematycznym. To model mający lepiej lub gorzej opisywać rzeczywistość (oby jak najlepiej). Często jednak „utożsamia się” model i rzeczywistość, a tak naprawdę nazywa za pomocą tej samej nazwy (skoro nasz model dobrze odpowiada kawałkowi rzeczywistości, to dlaczego wymyślać dwie różne nazwy?). Tak więc czasami mówiąc o „stanie” rozumie się funkcję falową a czasami np. rzeczywisty badany układ. Według mnie świadomość, że rzeczywistość i model to nie to samo, przydaje się głównie po to, żeby wiedzieć, że gdzieś są granice stosowalności modelu. Zresztą wbrew pozorom fizycy dobrze zdają sobie sprawę z tej różnicy.
[2] Z lekcji fizyki „wiadomo”, że wektory to takie „odcinki zakończone strzałkami”. W matematyce wektorami nazywamy takie twory, które można do siebie dodawać i mnożyć przez liczby (lub ogólniej skalary). Na pierwszym wykładzie z algebry kręciłem na to nosem, ale potem jakoś się przyzwyczaiłem.
[3] Oczywiście sztuką jest zgadnięcie, jakie w swoim modelu wybrać wektory i jakie operatory, żeby model dobrze odpowiadał rzeczywistości.
[4] Tak, tak – kiedy przygotujemy sobie kilka takich samych stanów i będziemy mierzyć jakąś wielkość fizyczną, to za każdym razem dostaniemy inny wynik! I nie jest to efekt polegający na tym, że na lekcji uczniowie mierzący linijką długość stołu otrzymują różne wyniki – stosując coraz dokładniejsze metody pomiaru, błąd pomiarowy można coraz bardziej ograniczać – gdybyśmy mogli ograniczyć go w 100% dostalibyśmy „pomiar doskonały” dający jeden dokładny wynik. W przypadku kwantowym taki „pomiar doskonały” może mieć tyle możliwych wyników ile wartości własnych operatora.
[5] Sam Schrödinger, jak napisał swoje równanie ewolucji miał nadzieję, że pozbędzie się tych paskudnych „skoków kwantowych”, no bo przecież przeskok z jednego stanu do innego, to też zmiana stanu.
Inne tematy w dziale Technologie
