Zgodnie z obietnicą zapisaną w jednej z poprzednich notek, przedstawię przykład wielowektorów. A spotkał się z nim każdy inżynier, być może nawet o tym nie wiedząc.
Weźmy jakiś porządny zbiór. Porządny to znaczy taki, żeby można było całkować różne rzeczy po jego porządnych podzbiorach. Te „różne rzeczy”, czyli wyrażenia, jakie można całkować, są właśnie przykładem wielowektorów. Nazywa się je formami różniczkowymi. I tu mała uwaga: dokładniej biorąc, taka forma jest polem a nie pojedynczym wektorem[1].
Jak to wygląda dokładniej? Funkcje to skalary (pola skalarne). Różniczki funkcji to wektory – całkujemy po zbiorach jednowymiarowych. Dwuwektory to wyrażenia, jakie całkuje się po zbiorach dwuwymiarowych itd. No i jeśli jeszcze nie zasnąłeś nad ekranem komputera, to pewnie zauważysz, że jeśli forma różniczkowa ma spełniać wymogi mnożenia Grassmanna (antysymetria):
dx∧dy = −dy∧dx
to:
Kiedy pokazywałem to kolegom, którzy potrafili całkować, ci mówili – to niemożliwe, bo inaczej pole figury mogłoby być ujemne, kiedy zamiast dxdy weźmiemy dydx. Zamiast przekonywać cię, że pole figury może być ujemne, podam prosty przykład.
Jeśli zajrzysz do podręcznika z analizy, to przeczytasz, że żeby obliczyć pole figury, trzeba całkować wyrażenie dxdy albo (w układzie biegunowym) rdrdφ. Zmieńmy więc układ współrzędnych na biegunowy. Wzory są następujące
x = rcos(φ) ⇒ dx = cos(φ)dr − rsin(φ)dφ
y = rsin(φ) ⇒ dy = sin(φ)dr + rcos(φ)dφ
Po podstawieniu (zgodnie z tradycją opuszczam znaczek ∧):
dxdy = (cos(φ)dr − rsin(φ)dφ) (sin(φ)dr + rcos(φ)dφ) =
= cos(φ)sin(φ)drdr − rsin2(φ)dφdr + rcos2(φ)drdφ − r2sin(φ)cos(φ)dφdφ
No i jeśli nie zgodzisz się na antysymetrię mnożenia różniczek, to raczej nie sprowadzisz tego wzoru do spodziewanego rdrdφ.
Gdyby jednak „podobieństwo” form różniczkowym do wielowektorów miało ograniczać się do „szpanowania” takimi sztuczkami, nie warto byłoby o tym wspominać[2]. Zobaczmy więc przykład, kiedy taka forma pojawia się dość naturalnie.
Przypomnijmy sobie jak wygląda jedno z równań Maxwella, zwane prawem Gaussa. Całka ze strumienia pola D po brzegu danej objętości (czyli całkujemy po zamkniętej powierzchni – brzeg objętości V widoczny jest we wzorze jako ∂V) jest równa sumie ładunków zawartych w tej objętości.
Całkowane wyrażenie DdS symbolicznie oznacza, że z całego wektora D, całkowana będzie składowa prostopadła do pola dS. Tak naprawdę, to oprócz najprostszych przypadków (takich symetrycznych) nigdy nie wiedziałem, co tak naprawdę należałoby liczyć dla jakichś „pokręconych” zbiorów. Jednak po przepisaniu tego wzoru „we współrzędnych” (kartezjańskich) już widać, co jest całkowane (co nie znaczy, że łatwiej się liczy):
DdS = Dxdzdy + Dydzdx + Dzdxdy
O! dostaliśmy nic innego jak wspomnianą wcześniej dwuformę, więc zapiszę ją po „grassmannowsku”:
D = Dxdz∧dy + Dydz∧dx + Dzdx∧dy
I co ciekawe, definicja indukcji elektrycznej pasuje jak najbardziej do „dwuwymiarowych” intuicji. Przypomnijmy ją: Jeśli chcemy zbadać ile wynosi indukcja elektryczna w danym miejscu, wsadzamy tam małą płytkę metalową. Jeśli jest pole, na płytce wyindukują się ładunki (różnoimienne „po obu stronach” płytki). Jest takie położenie, że wyindukowany ładunek będzie największy – gęstość tego ładunku to nic innego jak właśnie wielkość indukcji, a płaszczyzna płytki, to płaszczyzna „równoległa” do dwuwektora (tu dwuformy).
Na zakończenie dodam, że przedstawienie pola e-m za pomocą form różniczkowych jest dość naturalne (całkowa postać równań Maxwella) a w dodatku pouczające w przypadku niekartezjańskich układów współrzędnych. Dla ciekawskich (choć pewnie dotyczy to jedynie studentów fizyki) polecam książkę Ingardena i Jamiołkowskiego „Elektrodynamika klasyczna”.
[1] Taki „skrót myślowy” jest często stosowany przez fizyków, kiedy mówią na przykład o wektorze pola elektrycznego, choć na dobrą sprawę posługują się polem wektorowym. Uspokajam jednak – fizycy wiedzą, na czym polega różnica między wektorem a polem. Dodatkowo geometria różniczkowa, gdzie takie twory występują „naturalnie” jeszcze bardziej komplikuje nazewnictwo rozróżniając (wielo)wektory od (wielo)form. Nie będę się jednak zagłębiał w te rejony.
[2] Tym bardziej, że matematyk mógłby od razu ostudzić zapał takiego szpanującego, zadając trudne pytanie w rodzaju „jakie funkcje zastosowano (np. czy muszą być ciągłe, różniczkowalne itp.)?” albo „o jaką całkę chodzi (Riemanna, Lebesgue'a a może jeszcze jakaś inną)?”
Inne tematy w dziale Technologie
