Pole e-m a zmiana układu współrzędnych

Zmiana układu współrzędnych zwykle nie jest jakąś wielką przeszkodą w opisie danego zjawiska. Matematycznie, to „zwykła” zamiana zmiennych. No chyba, że posługujemy się polami wektorowymi, wtedy trzeba się zastanowić. W przypadku pola e-m jest jeszcze bardziej tajemniczo, bo tak ściśle, to E i B tworzą bardziej skomplikowany obiekt matematyczny[1]. Mimo, to wylewając nieco potu, można sobie poradzić. Co spróbuję tu opisać.

I znów, jak w przypadku innych notek, mam nadzieję, że matematyka nie odstraszy potencjalnych czytelników, choć to bardzo niewielka nadzieja.

Transformujemy pole wektorowe

Na razie takie „zwykłe”, nie-elektromagnetyczne. Żeby zobaczyć na czym polega przejście z jednego układu współrzędnych do innego, popatrzmy na pole wektorowe na płaszczyźnie:

Pole wektorowe V_x = V_0 x

Jak widać składowa X-owa jest proporcjonalna do x, składowa Y równa jest zero. Wzór określający to pole jest pewnie jakiś taki:

V = ( V₀x, 0 )

No to zmieńmy układ współrzędnych. Wybierzmy taki obrócony o 90 stopni:

To samo pole z innym układem współrzędnych

W nowym układzie pole wygląda następująco:

Pole V = V_0 y

Można zgadnąć, że teraz to samo pole w nowych współrzędnych ma postać:

V’ = ( 0, V₀y )

Jak widać zmieniły się dwie rzeczy: Po pierwsze przekształcenie zmieniło składowe miejscami – teraz współrzędna Y-kowa jest różna od zera. Po drugie zmieniła się zależność pola od położenia – teraz pole zmienia się wraz ze zmienną y. Obie te zmiany generuje przekształcenie:

x’ = –y
y’ = x

Jak widać, żeby dostać jawną postać pola musimy: po pierwsze zastosować je do składowych pola, po drugie zmienić zależność od położenia. Przykład ten jest dość prosty i mam nadzieję, że zrozumiały. Podobne procedury trzeba będzie przeprowadzić dla pola e-m.

Potencjały pola e-m

Z grubsza rozwiązywanie równań Maxwella polega na znajdowania pola e-m, gdy ma się zadane ładunki i prądy. Trzeba więc znaleźć 6 funkcji – 3 współrzędne pola E i 3 współrzędne pola B. Okazuje się jednak, że można zdefiniować sobie pewne cztery funkcje zwane potencjałami, których po pierwsze jest mniej, a po drugie łatwiej je obliczyć. Funkcje te to:

φ - potencjał elektryczny (w przypadku statycznym, to taki zwykły potencjał który tworzy znaną wszystkim różnicę potencjałów);
A = ( A_x, A_y, A_z ) – potencjał magnetyczny.

Jak się ma te potencjały, to pola B i E po prostu oblicza się przez różniczkowanie:

$E = -grad \varphi - {\partial A \over \partial t}, B = rot A$

Otóż fizycy znajdując ogólne rozwiązania równań Maxwella, znaleźli najpierw owe potencjały.

Przechodzimy do znalezionych potencjałów.

Ostatnie lata XIX wieku, o STW jeszcze nikt nie słyszał. Fizycy walczą z równaniami Maxwella, próbując je tak przerobić, by pasowały do dotychczas stosowanej zasady względności, czyli przekształceń Galileusza. Inni nie bacząc na powstałe wątpliwości rozwiązują równania. Są to między innymi A. Lienard i J. Wichert. Napisali oni ogólną postać potencjałów dla ładunku punktowego. My popatrzymy na ich wyniki, dla prostego przypadku, gdy ładunek porusza się ruchem jednostajnym, albo zostaje w spoczynku[2].

Gdy ładunek stoi, to mamy tylko potencjał elektryczny równy (cząstka znajduje się w początku układu współrzędnych):

$\varphi'( {\bf r}, t) = { q \over 4\pi\epsilon_0}{1 \over r}$

I taka postać jest już wkuwana przez uczniów szkół średnich. Potencjału magnetycznego nie ma, a dokładniej jego składowe równe są zero.

Pytanie jak będzie wyglądał potencjał elektryczny dla ruchomego ładunku? Puśćmy ładunek wzdłuż osi X z prędkością v. „Codzienna” intuicja podpowiada:

$\varphi’( {\bf r}, t) = { q \over 4\pi\epsilon_0}{1 \over \sqrt{(x-vt)^2 +y^2+z^2}}$

ale rozwiązując równania Maxwella uzyskano inny wzór[3]:

$\varphi(r, t) = { q \over 4\pi\epsilon_0}{1 \over \sqrt{(x-vt)^2 +(1 -{v^2 \over c^2})(+y^2+z^2) }}$

Przekształćmy ten wzór do postaci którą lubi STW, kiedy to widać czynnik lorentzowski γ:

$\varphi'( {\bf r}, t) = { q \over 4\pi\epsilon_0} {1 \over \sqrt{1 -{v^2 \over c^2}}} {1 \over \sqrt{({x-vt \over \sqrt{1-v^2/c^2}})^2 +y^2+z^2 }}$

Jeszcze ciekawiej wygląda rozwiązanie potencjału magnetycznego:

${\bf A}'( {\bf r}, t) = {{\bf v}\over c^2} \varphi'( {\bf r}, t)$

Zaprzęgamy teraz zasadę względności: Nieruchomy ładunek w jedym układzie jest równoważny poruszającemu się ładunkowi w układzie ruchomym. Zadanie jakie stoi przed nami, to znaleźc takie transformacje, by w wyniku zmiany układu współrzędnych zmieniła się postać potencjałów: z „nieruchomego” na „ruchome”.

Patrząc na otrzymane wzory czujemy przez skórę, że musi być jakiś głębszy związek między φ i A. I tu pojawia się dodatkowe założenie: oba potencjały są kawałkami jednego obiektu. Przy zmianie układu współrzędnych będą się „wymieniać zawartością” tak jak to jest w prostym przykładzie na początku notki. Innymi słowy tworzymy czterowektor A w postaci:

A = ( φ/c, A ) = ( φ/c, A_x, A_y, A_z )

Potrzebne jest również drugie założenie: zmiana współrzędnych wymaga tych samych transformacji[4] – również tak jest w przykładzie z obrotem o 90 stopni.

Uważna analiza powyższych wzorów na potencjały pola e-m wystarczy, żeby odtworzyć przekształcenia Lorentza:

x' = γ(x - vt)
y' = y
z' = z
t' = γ(t- (vx)/c²)

Jak mamy wzory na A’ i φ’ w nowym układzie współrzędnych, to różniczkując je, otrzymamy postać pól E’ i B’. Trochę dużo liczenia, więc podam jedynie końcowe wzory transformacyjne[5] (wektory z falką to pola w nowym układzie):

tranformacje pola e-m

które w przybliżeniu nierelatywistycznym dadzą wspomniane w poprzednich notkach:

E’ = E + u×B
B’ = B – (1/c²)u×E

Powyższe wyprowadzenia mają na celu pokazanie, jak można odgadnąć sobie postać działających przekształceń, jakimi okazały się te znane z późniejszej STW. Zdaje się Lorentz sprawdził, że pasują one w ogóle do równań Maxwella, czyli obowiązują wszelkie przypadki a nie tylko takie, gdzie ładunki poruszają się jednostajnie.

Krytycy STW, zapytają od razu: czy istnieje możliwość, że da się określić jakieś inne zasady transformowania potencjałów? Być może tak, trzeba by jednak zrezygnować z owych dodatkowych założeń, zaproponować jakieś inne i znaleźć „swoje” transformacje. Nie próbowałem, ale może komuś się uda?

[1] Jeśli chcemy opisywać pole e-m prawidłami sprawdzonymi dla pól wektorowych, to musimy potraktować je jak tensor, taki dwuwymiarowy wektor. Ale nie rozwijam na razie tego tematu.

[2] Rozważanie te stanowią skrót wyprowadzeń zrobionych przez Feynmana w swoich „Wykładach z fizyki” tom 2.1.

[3] Żeby nie straszyć pierwiastkiem z ε₀μ₀ zapis jest już „dostosowany” do STW i pojawia się stała c

[4] Tak dokładniej, to uzasadnienie takiej procedury podpowiada matematyka, więc niekoniecznie trzeba mówić o dodatkowym założeniu. Matematyka podpowiada również, kiedy mozna stosować ten sposób. Na przykład jeśli decydujemy się na przykład na niekartezjańskie układy współrzędnych, trzeba poznać skomplikowańsze wzory.

[5] Ten obrazek to cytat z książki Ingardena i Jamiołkowskiego „Elektrodynamika klasyczna”.