Zajtenberg Zajtenberg
2153
BLOG

Kwantowe przenikanie przez ścianę

Zajtenberg Zajtenberg Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 42

Być może jeszcze są tacy, co pamiętają charakterystyczną zabawę na którą można było jakiś czas temu trafić na festynach czy wesołych miasteczkach – widziałem ją kiedyś na jakimś starym filmie. Trzeba było rozpędzić szynowy wózek, tak by wjechał na szczyt. Jak się komuś udało – a wysokość dobrana była tak, żeby naprawdę było trudno – wygrywał. Jak się nie udało, wózek zawracał.

Wymodelujmy sobie tę zabawę, wykresem energii potencjalnej – akurat dla tego przypadku, wykres ma taki sam kształt jak używany tor. Dodatkowo: gdy wózek osiągnie szczyt, „pozwolę” na przejazd na drugą stronę:

image

Sprawa jest prosta – jeśli wózek ma mniejszą energię niż oznaczone na wykresie V0 , to zawróci. Ciekawostką jest to, że dla obiektów kwantowych wcale tak nie musi być.

Wnikanie funkcji falowej

Poniżej opiszę, jak wyglądają podobne zjawiska w skali kwantowej. Dla ustalenia uwagi możemy pomyśleć o elektronie stanowiącym nośnik prądu. W pewnym momencie natrafia on na odpychającą barierę – może być to na przykład jakieś złącze półprzewodnikowe. Gdyby elektron miał dużą energię, pokonałby tę barierę i poleciałby dalej, Niestety ma mniejszą i wydaje się, że jego podróż na tym się zakończy. Otóż okazuje się, że raz na jakiś czas elektron „przejdzie” przez nieprzyjazną barierę!

Jak kwantologia opisuje tego typu takiego zjawiska? W takich razach używamy funkcji falowej. Fala rzecz jasna odbija się od bariery, ale również nieco wnika do obszaru, gdzie klasyczna cząstka by nie weszła. Jeśli szerokość bariery jest mniejsza niż głębokość wnikania, jakaś część funkcji „przejdzie” na drugą stronę. Im mniejsza różnica pomiędzy energią cząstki i wysokością bariery oraz im mniejsza szerokość bariery, tym efekt będzie większy. Opis ten możemy ograniczyć do jednego wymiaru – oznacza to, że pozostałe dwa nie mają istotnego udziału w zabawie – można sobie pomyśleć, że ten jeden wymiar oznacza kierunek prądu, którym się interesujemy.

Jak taki model odnosi się do rzeczywistości? Zwykle kiedy mówmy o zjawisku tunelowym, mamy do czynienia z całym strumieniem cząstek – część się odbije, część przejdzie. Zgodnie z obliczonym prawdopodobieństwem. Praktyczne przykłady występowania zjawiska pojawią się w kolejnych odcinkach.

Mała uwaga rachunkowa: Ponieważ porównujemy wysokość bariery[1] z energią poruszającej się cząstki, chcemy, żeby miała w miarę dobrze określoną energię, więc musi mieć być jak najbardziej podobna do fali płaskiej. Osobom, które chciałyby więcej wiedzieć jaka może być taka funkcja, mogą zajrzeć do notki „Nieślubne dziecko teorii kwantów”. Dodatkowo dość łatwo dokonuje się obliczeń, przy założeniu, że energia potencjalna zmienia się skokowo. W mechanice klasycznej to bardzo złe założenie, bo oznacza nieskończoną siłę w miejscu zmiany wartości potencjału, ale w kwantologii nie dzieje się nic złego. Gdyby było inaczej, wszelkie przypadki, gdzie nieoznaczoność położenia jest większa od obszaru zmienności potencjału zawierałyby jakieś paskudztwa.

Tunelowanie – q-obrazki

Poniżej przedstawiam trzy „filmiki” pokazujące jak równanie Schrödingera „radzi sobie” ze zjawiskiem tunelowania. Animowane GIFy pokazują paczkę falową (w jednym wymiarze) poruszającą się w kierunku bariery potencjału – jej obszar, też jednowymiarowy,  symbolicznie zaznaczony jest na żółto. Na obrazku przedstawiono kwadrat modułu funkcji falowej czyli prawdopodobieństwo. Parametry są tak dobrane, że wysokość bariery jest większa od energii paczki falowej[2]. Widać to zresztą w ewolucji paczki – odbija się ona od bariery.

image

W czasie odbijania paczka nieco wnika w zabroniony klasycznie obszar, ale potem grzecznie się „wycofuje”. Sprawdźmy co się stanie, jeśli szerokość bariery będzie mniejsza od głębokości wnikania. Spójrzmy na dwa kolejne przypadki:

image

image

Jak widać, przy dostatecznie małej szerokości bariery część prawdopodobieństwa przejdzie[3] przez na drugą stronę.

No to jeszcze wyjaśnię skąd wziąłem te obrazki. W poprzednim stuleciu (jak ten czas szybko mija!) napisałem sobie program komputerowy, który pokazywał kilka przypadków ewolucji funkcji falowych. Wykorzystałem wtedy jedną z metod dyskretyzacji czasowego równania Schrödinegra na jednowymiarowej sieci. Ponieważ jakoś nie chciało mi się odtwarzać ówczesnych obliczeń, wykorzystałem ten programik, dokonując przy okazji jego uruchomienia cyklicznych zrzutów kawałka ekranu do pliku. No i gdyby ktoś chciał sobie coś takiego zrobić, to prezentuję kawałek kodu, który co prawda nie ma nic wspólnego z mechaniką kwantową, ale może komuś się przyda. Przykład w C++/CLI, ale pewnie łatwo da się przepisać do C#:

Drawing::Size s;
s.Width = szer;
s.Height = wys;
Bitmap ^memoryImage = gcnew Bitmap(s.Width, s.Height);
Graphics ^memoryGraphics = Graphics::FromImage(memoryImage);
memoryGraphics->CopyFromScreen(x, y, 0, 0, s);
memoryImage->Save(L"D:\\katalog\\obrazek.png");

Łatwo się domyślić, że (x,y) to współrzędne lewego górnego rogu zrzucanego fragmentu, a szer i wys to jego wymiary.

Tunelowanie klasycznie

Zjawisko tunelowania jest efektem falowym, więc w tym sensie da się je zaobserwować w fizyce klasycznej. Poniżej opiszę przypadek tunelowania promieniowania mikrofalowego, choć podobny da się znaleźć i dla innych zakresów fal e-m.

Na pracowni dydaktycznej – rzecz jasna w czasie studiów – robiliśmy doświadczenie z mikrofalami. Był tam nadajnik mikrofal, detektory i pryzmaty z parafiny. W przypadku poniższego ustawienia, optyka geometryczna „nakazywała”, pełne odbicie od pryzmatu (zachodziło tam całkowite wewnętrzne odbicie), detekcję mikrofal przez (A) i brak detekcji (B). I tak było, jak oba kawałki parafiny były daleko od siebie.

image

Można było jednak zaobserwować, że wskazania detektora (B) zależą od odległości „pryzmatów”. Im bliżej się znajdowały, tym większą wartość można było zmierzyć. Dzieje się tak dlatego, że fala e-m „wychodzi” poza płaszczyznę odbicia (pole zanika tam eksponencjalnie wraz z odległością od pryzmatu) – można powiedzieć „wnika do obszaru geometrycznie zabronionego” – i może zostać „przechwycona” jeśli coś znajdzie się wystarczająco blisko. Fala e-m przejdzie jeśli obszar zabroniony będzie rzędu długości fali, czyli już dla kilku centymetrów.

image

Analizując takie zachowanie fali e-m można się zastanawiać, czy równania Maxwella nie są jednak w pewnym sensie kwantowe. To dobry temat na jakiegoś flejma ☺.

Przypadek drugi – to raczej dowcip – obiekt przechodzi przez barierę, choć ma mniejszą energię niż wysokość tejże. Tak się da? Jak obiekt będzie rozciągły, to tak. Na przykład jeśli będzie nim rozpędzony pociąg. Wtedy środek ciężkości pociągu w najwyższym punkcie – oznaczony na rysunku czerwoną kropką – będzie niżej od szczytu bariery. Żeby pociąg „przetunelował” wystarczy, że jego energia całkowita E będzie spełniała warunek (oznaczenia według tych na obrazku):

mgh < E < V0

image

Zawsze to miło zakończyć notkę jakimś żarcikiem ☺. Szczególnie jak jest trochę przydługa.


[1] W ramach pewnej nonszalancji, w dalszej części tekstu będę wymiennie używał pojęcia „potencjał” i „energia potencjalna”. W sytuacji: „elektron oddziałuje z polem elektrycznym” wystarczy jedno przemnożyć przez ładunek żeby uzyskać drugie.

[2] To pewne uproszczenie, bo paczka gaussowska – a taka jest właśnie tu wymodelowana – jest sumą fal płaskich o różnych energiach, również tych co mają większą energię od wartości bariery. Mimo to ich wkład jest niezauważalny – inaczej paczka nie odbiłaby się na pierwszym obrazku.

[3] Cechą charakterystyczną modelu – nie wiem czy ma to mierzalne przełożenie na rzeczywistość, ale raczej powinno tak być – jest niejednorodne przenikanie składowych paczki o różnych energiach. Przed chwilą napisałem, że paczka jest gaussowska jest sumą (a ściślej całką) fal płaskich odpowiadających różnym energiom. Im wyższa energia składowej, tym „łatwiej” dokonuje się dal niej transfer prawdopodobieństwa. Skutkiem tego odbity kawałek fali ma mniejszą energię średnią od stanu początkowego, a przetunelowany kawałek większą. Sprawdziłem sobie nawet, że po przejściu na drugą stronę porusza się on szybciej niż paczka swobodna.

Zajtenberg
O mnie Zajtenberg

Amator muzyki "młodzieżowej" i fizyki. Obie te rzeczy wspominam na blogu, choć interesuję się i wieloma innymi. Tematycznie: | Spis notek z fizyki | Notki o mechanice kwantowej | Do ściągnięcia: | Wypiski o fizyce (pdf) | Historia The Beatles (pdf)

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie