Czy moglaby istnieć fizyka bez matematyki? Odpowiedź jest jasna: nie mogłaby, bowiem fizyka jest nauką ilościową. Czy mogłaby istnieć matematyka bez fizyki? Oczywiście. Przecież tak matematyka powstawała – pojęcia matematyczne powstawały w umysłach ludzi i w żaden sposób nie moga być WYDEDUKOWANE z doświadczenia. W żaden!
Mimo tych oczywistości popularne stały się ostatnio narzekania na przesadną matematyzację fizyki. Pewien bloger ostatnio wyrażał swoje niezadowolenie pisząc, że fizycy są “ofiarami matematyki, która wymyśla abstrakcyjne światy symboli, bada ich własności, a istnienie tych światów, ma zapewnione tautologicznie “. Patrz “Fizyka,czyli marzenia o wszechświatach niemożliwych do zaistnienia”.
Jakby przez chwilę zapomina nasz czcigodny bloger o tym, że gdyby nie te “abstrakcyjne światy symboli”, nie mielibyśmy ani mechaniki kwantowej, ani też szczególnej czy ogólnej teorii względności. Planuję przedstawić skrajnie odmienny pogląd aniżeli ów czcigodny bloger w niedalekiej przyszłości. Dziś jednak będę kontynuował moje pogrążanie się w abstrakcyjny świat symboli, bowiem bez niego nie można zrozumieć Ogólnej Teorii Względności, teorii, której fizycy używają z dużym powodzeniem już od ponad stu lat, a która nadal jeszcze, z nieznanych powodów, nie zawitała do szkół i do przedszkoli. Nauczyciele i nauczycielki, które tę torię znają na tyle, by wykładać ją uczniom, należą do prawdziwych wyjątków, i cieszę się z tego, że mam zaszczyt takie wyjątki znać osobiście. Wiem o tym, że nauczyciele i uczniowie przynajmniej jednej z wrocławskich szkół zaglądają na mój blog, spoczywa zatem na mnie duża odpowiedzialność. Nie boję się jej i nie unikam. I dziś kontynuuję temat fizyki w statku kosmicznym napędzanym wyidealizowanym silnikiem zapewniającym stałe sztuczne ciążenie, jak tu na Ziemi, poprzez nieustanne przyśpieszanie (lub spowalnianie). Pisałem o tym w całej serii poprzednich notek i dziś po prostu proponuję pójście dalej, opierając się na fundamencie, który już poprzednio zbudowaliśmy.
Fizyka jest budowaniem modeli rzeczywistości. Te modele są zawsze, z konieczności, wyidealizowane. W świecie materialnym wokół nas, czasem nazywnym Przyrodą, nie ma ani linii prostych ani, tym bardziej “punktów” z których takie linie powstają. Niemniej tak punkty jak i linie są idealizacjami bez których współczesne modele rzeczywistości nie mogłyby nigdy powstać.
Przykład, który rozważam jest tego rodzaju idealizacją. Idzie tu o punktowego obserwatora. Znajduje się on, zgodnie z naszą bajką, na statku kosmicznym wyposażonym w niekonwencjonalny napęd i dysponuje jakimiś przyrządami i kalkulatorami, które jako punkty trudno sobie wyobrazić. Niemniej tak właśnie to sobie wyobrażamy. W podręczniku Misnera, Thorne'a i Wheelera “Gravitation”, mającego renomę Biblii, caly rozdział 6 poświęcony jest “przyśpieszonym obserwatorom” i zaczyna się od podrozdziału zatytułowanego “Przyśpieszeni obserwatorzy mogą być analizowani w ramach szczególnej teorii względności”. A dalej, na str. 173 mamy tam formuły równoważne tym używanym przeze mnie.
Ekstrapolacja od punktu do być może nawet całego wszechświata załatwiana tu jest jednym zdaniem na początku rozdziału 6.6: “Rozszerzmy nasz ruchomy układ odniesienia, lub inaczej, “nasz infinitezimalny układ współrzędnych” do “lokalnego układu współrzędnych” pokrywającego skończony obszar. I dalej mamy formuły, które analizowałem w poprzedniej notce.
A tak przy okazji o tej książce: Ma ponad 1000 stron i 24 wydania. Wspominałem o tej książce w notce “Zdesperowany trygonometra”. Pracowałem wtedy (to był rok 2008) nad konforemną kompaktyfikacją przestrzeni Minkowskiego. Powstały z tego mojego zmagania trzy prace:
On Conformal Infinity and Compactifications of the Minkowski Space,
http://arxiv.org/abs/1008.4703, Advances in Applied Clifford Algebras,
DOI: 10.1007/s00006-011-0285-5, 2011
Compactified Minkowski Space: Myths and Facts,
http://arxiv.org/abs/1105.3948, Prespace Journal, 3 (2012), 131-140
Geometry and Shape of Minkowski's Space Conformal Infinity,
http://arxiv.org/abs/1107.0933, Reports on Mathematical Physics, 69 (2012), 179-195
Wracam do głównego tematu. Nasz grawitacyjna Biblia serwuje nam formuły jak na obrazku powyżej.
Formuły te są praktycznie identyczne z tymi z poprzedniej notki:
T = (1/a + x) sinh (aτ)
X = (1/a + x) cosh (aτ)
Dalej będziemy się bawić matematyką. Zatem czemu nie uprościć sobie zadania, skoro nic nas to nie kosztuje? W naszym zagadnieniu a jest stałą, zatem możemy przesunąć poczatek x-ów tak, by (1/a+x) stało się x. Podobnie wprowadzamy t = aτ. Teraz mamy związek pomiędzy inercjalnym a jednostajnie przyśpieszanym układem współrzędnych dany prostymi formułami
T= x sinh (t)
X= x cosh (t)
Formalnie przypomina to przejście od biegunowego do kartezjańskiego układu współrzędnych – patrz https://pl.wikipedia.org/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_biegunowych
tylko zamiast sinusów i cosinusów znanych z trygonometrii, u nas są sinusy i cosinusy hiperboliczne.
Punktowy bezustannie przyśpieszający obserwator, opisujący zdarzenia w otaczającym go świecie przy pomocy współrzędnych x,t stwierdza, że jego czasoprzestrzeń posiada tensor metryczny dany przez formułę:
ds2=x2 dt2- dx2
Wyprowadzenie jest na ostatniej tablicy w notce “Albert Einstein w beczce śmierci”.
Od tego zaczniemy. Od tej pory będziemy rozmawiać językiem ogólnej teorii względności Einsteina. Tyle, że nasze wejście w tą teorię będzie miękkie, nie należy się zatem obawiać, że nabijamy sobie guza. A jeśli i nawet, to po przyłożeniu lodu ból zmaleje a guz szybko zniknie.
Teoria względności operuje tensorami. Zresztą podobnie jak mechanika ośrodków ciagłych. I my będziemy sie tensorami posługiwać. Nazym pierwszym zadaniem jest przedstawienie informacji o czasoprzestrzeni zawartej w powyższej formule na ds2 w postaci tensorowej.
Może zacznę od tego, że wielkość skalarna to tensor, wektor to tensor, naprężenia w ciele stałym to tensor, jest jeszcze tensor bezwładności, są setki i tysiące innych tensorów. Bez tensorów nie byłoby współczesnej fizyki.
Nas będą tu interesować tensory związane z czasoprzestrzenią. Matematyk to ma dobrze. Matematyk najpierw się uczy co to jest przestrzeń wektorowa, co to są bazy w takiej przestrzeni. Potem nad przestrzenią wektorową buduje algebrę tensorową. Potem wprowadza bazy w przestrzeniach tensorów. A potem dzieli algebrę przez takie czy inne dwustronne ideały i dostaje wielowektory i algebry Clifforda. Bierze przestrzeń dualną, wprowadza algebrę form, pojawiają się wyznaczniki i różniczkowania algebr z gradacją – sama radocha. Fizyk czy inżynier ma trudniej. Algebry tensorowej raczej mu nikt nie skonstruuje, zaś o dzieleniu przez ideały na pewno nie usłyszy. Radochy wielkiej nie ma i najlepiej mu wystartować od przykładów, i po kilku przykładach powiedzieć “i tak dalej”. I tak zrobi, W tej chwili wprowadzimy “tensor metryczny” naszej czasoprzestrzeni. Ten tensor to macierz 2x2 odczytana z formuły na ds2. Najpierw tę macierz wypiszę, zaś w dalszym ciągu będziemy ją objaśniać i dokonywać na niej szeregu ważnych operacji. Tak jak to się robi w tej “dorosłej ogólnej teorii względności”.
W naszym przypadku tensor metryczny zależy od x, ale nie zależy od t, współrzędnej typu czasowego. Mówimy, że metryka (inna nazwa tensora metrycznego) jest statyczna (lub stacjonarna).
W kolejnych notkach będziemy z naszym maleńkim tensorem metrycznym wyczyniać te same sztuczki jak te które wyczyniają prawdziwi relatywiści z dużymi tensorami metrycznymi. Nasz tensor jest “maly”, ma tylko jedną nietrywialną składową, tę w lewym górnym rogu. Z takimi maleńkimi tensorami metrycznymi można sobie poradzić nawet na pokładzie punktowej rakiety! Co będziemy robić w kolejnych notkach.
