Nie ignorujmy symetrii. Symetrie mogą być nieoczywiste, lecz warto je brać pod uwagę przy opisie zjawisk fizycznych. Uwzględnienie symetrii upraszcza opis, powoduje to, że łatwiej nam dojrzeć prawidłowości.
W szeregu ostatnich notek zajmowałem się szczególną teorią względności. Teoria ta byłaby niezwykle uciążliwa do posługiwania się nią gdyby nie to, że odkryto geometrię przestrzeni Minkowskiego i związaną z nią symetrię opartą o transformację Lorentza. Formułowanie relatywistycznej dynamiki w ramach czasoprzestrzeni Galileusza-Newtona jest oczywiście możliwe, jednak znacznie bardziej uciążliwe niż gdy robimy to na tle geometrii czasoprzestrzeni Minkowskiego,
Albo, powiedzmy, chcemy opisać spadanie ciał na powierzchnię Ziemi. Możemy się w tym celu posługiwać współrzędnymi kartezjańskimi. Gdy jednak chcemy opisywać ruch rakiet balistycznych w polu Ziemi, o wiele wygodniej jest użyć współrzędnych sferycznych, bowiem, w dobrym przybliżeniu, pole grawitacyjne ziemskie ma symetrię sferyczną. Lepiej jest używać odległości od centrum Ziemi i współrzędnych geograficznych, niż jakiegoś prostokątnego układu współrzędnych.
W poprzedniej notce zajmowałem się opisem pola grawitacyjnego w jednostajnie przyśpieszanym układzie i robiłem to idąc za sugestiami Czytelnika. Tensor metryczny opisujący to pole (według sformułowania teorii grawitacji przez Einsteina) miał tam dość nieprzejrzystą i skomplikowaną postać.
Zrobiłem więc to, co zwykle relatywiści (fizycy zajmujący się szczególną i ogólną teorią względności|) w takich przypadkach robią: poszukałem symetrii tego pola. Szukanie symetrii takiego czy innego pola fizycznego to jest rzemiosło i sztuka i nie jest moim celem wprowadzanie w tę naukę i sztukę. Użyłem drugiego ulubionego przez mnie programu, Maple (pierwszy mój ulubiony to Mathematica). Ten znalazł mi symetrie, dokładniej symetrie infinitezimalne, pola wektorowe generujące symetrię. Wezmę teraz to pierwsze, najprostsze, i pokażę jak rzemieślnik takiego wyniku pochodzącego od programu może użyć by uprościć matematyczną reprezentację rozważanego problemu.
Współrzędne naszej dwuwymiarowej czasoprzestrzeni to s,x. Gdzie s to czas własny, zaś x ma związek z położeniem w przestrzeni przy ustalonym s. Program Maple wyprodukował na pierwszym miejscu pole wektorowe zapisane jako x D_s. Oznacza to, że we współrzędnych (s,x) – w tej właśnie kolejności, nasze pole wektorowe generujące symetrię metryki ma składowe (x,0). To pole wektorowe ma charakter czasowy. Jak będą wyglądały linie takiego pola wektorowego? Linia takiego pola jest parametryzowana jakimś parametrem, nazwijmy go t. Wracam do używania Bjabowego tau zamiast s jak w programie Maple.
Powiedzmy, że (τ (t),x(t)) jest linią naszego pola. Oznacza to, że
dτ /dt= x, dx/dt=0.
Rozwiązaniem tego układu równań będzie
τ (t) = tx(t), x(t) = x
Wygodnie będzie więc wprowadzić inny układ współrzędnych, w którym linie naszego pola wektorowego będą liniami jednej ze współrzędnych, zatem użyć współrzędnej t zamiast s. Wprowadzamy więc nowy układ współrzędnych (t,x) zamiast poprzedniego (τ ,x).
τ =tx, x=x
Teraz to już proste ćwiczenie by przejść od metryki Bjaba z poprzedniej notki, do nowej metryki we współrzędnych (t,x). Otrzymamy
dτ = t dx +x dt,
dτ dτ = t2 dx dx + x2 dt dt + 2tx dx dt
dτ dx = t dx dx + x dt dx
dτ dτ -2(τ /x) dx dτ +(τ 2/x2 -1) dx dx = t2 dx dx + x2 dt dt+ 2tx dx dt
- 2t2 dx dx – 2 tx dt dx
+ t2 dx dx – dx dx
= x2 dt dt – dx dx
I w ten sposób idąc za wskazówkami symetrii przeszliśmy od Bjabowych „naturalnych” współrzędnych do tych „podręcznikowych”, opisanych przeze mnie w notce „Przedszkole ogólnej teorii względności - tensor metryczny”. Te podręcznikowe nie mają osobliwości typu 1/0 przy x = 0, składowe tensora metrycznego zależą tylko od jednej zmiennej, x, a w dodatku nasza symetria to po prostu symetria względem przesunięć „w czasie” t.
To co naturalne nie musi być proste, a to co proste nie musi być naturalne.
