Wyznacznik macierzy? Co to takiego? Odpowiedź na to pytanie winien znać każdy licealista. A jeśli nie zna? Wtedy powinien poprosić swoją Panią by rzecz wyjaśniła i sprawdzianem zakończyła. A poza tym zawsze można zajrzeć do Wikipedii.
Nas będzie interesować wyznacznik macierzy antysymetrycznej, więc od razu zajrzyjmy pod hasło "Macierz antysymetryczna"
Znajdziemy tam na przykład coś takiego:
Jeśli A jest macierzą antysymetryczną stopnia n , to jej wyznacznik jest równy
det A = det A T = det ( − A ) = ( − 1 ) n det A .
W szczególności, jeżeli n jest nieparzyste, to det A = 0 (dla macierzy o wyrazach z ciała charakterystyki różnej od 2) – wynik ten znany jest jako twierdzenie Jacobiego (nazywany nazwiskiem Carla Jacobiego).
I to każdy licealista powinien być w stanie zrozumieć, a potem sprawdzić na kilku przykładach. Najpierw dla macierzy 1x1, potem dla 3x3.
Dalej jednak Wikipedia serwuje nam coś tajemniczego:
Jeśli n jest parzyste, to det A można zapisać w postaci ( Pf A ) 2 , gdzie Pf A oznacza pfaffian macierzy A – wynik znany jako twierdzenie Cayleya (o pfaffianie; udowodniony przez Arthura Cayleya i odkryty na nowo przez Thomasa Muira).
Mamy tam link do hasła Pfaffian, jednak link prowadzi do pustej strony. W polskiej Wikipedii na pfaffiany nie znalazł się do tej pory nikt chętny. Choć temat był zahaczony na forum matematyka.pl: Wyznacznik macierzy antysymetrycznej jest kwadratem liczby.
"Udowodnij, że wyznacznik macierzy antysymetrycznej (ai,j) z ai,j∈Z jest kwadratem liczby całkowitej....."
Sprawdźmy jak to jest na przykładzie macierzy pola elektromagnetycznego, którą już oglądaliśmy w dwóch poprzednich notkach:
Licealista powinien być w stanie wyliczyć wyznacznik tej macierzy. Ja sam wyliczyłem, posługując się programem, bo to potrafię, i wyszło mi coś takiego
Nic przyjemnego, prawda? Jednak niedawno nauczyłem się co to takiego ten Pfaffian i wysunąłem sobie hipotezę: jeśli ma to być kwadratem jakiegoś wyrażenia, załóżmy jakiegoś sensownego wyrażenia, to jedyne co się nasuwa to to, że jest to kwadrat iloczynu skalarnego dwóch wektorów: wektora pola elektrycznego i wektora pola magnetycznego:
det F =(EB)2
Tak sobie pomyślałem, sprawdziłem, i faktycznie wyszło. A dlaczego ten iloczyn skalarny jest czymś sensownym? Bowiem na jednej ze stron politechniki warszawskeij możemy wyczytać:
"W sinusoidalnej fali elektromagnetycznej opisywanej przez otrzymane wyżej rozwiązania równania falowego pola E i B zmieniają się w płaszczyznach wzajemnie prostopadłych"
Co oznacza, że dla takich fal iloczyn skalarny EB jest zerem. I, co ciekawe, ten fakt nie zależy od układu odniesienia, bowiem iloczyn skalarny EB jest niezmiennikiem względem transformacji Lorentza. (Drugi taki niezmiennik to (E2- B2)
Wyznacznik macierzy antysymetrycznej parzystego wymiaru jest nie tylko po prostu "kwadratem liczby". Gdy wyrazy macierzy są całkowite, wtedy jej wyznacznik jest kwadratem liczby całkowitej. Rzecz w tym, że wyrażenie na Pfaffian macierzy można sformułować w sposób podobny do wyrażenia na wyznacznik: bez żadnych dzieleń, same mnożenia i dodawania (lub odejmowania).
Ale o tym, a także jak to się sprytnie przede mną długi czas ukrywało w moim zmaganiu z lambdą - już w przyszłej notce.
