Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
1429
BLOG

Rozkład Wignera i kwantowe upiory

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 61

W ostatniej serii natek dyskutowaliśmy klasyczne i kwantowe rozkłady prawdopodobieństwa dla położeń i pędów oscylatora w stanach o określonej energii. Jednak była to dyskusja „albo-albo”. Albo położenia albo pędy. Kwantowy kanon przestrzega przed pomiarami pędu i położenia jednocześnie. Mnie ten kwantowy kanon śmieszy. Pójdzie kiedyś do kosza. Poświęciłem temu cały rozdział w mojej książce. Za jednoczesne pomiary pędu i położenia, co dziś grozi ekskomuniką, będą w niedalekiej przyszłości rozdawać Noble. Ale nie o to mi dziś idzie. Choć w kwantowej teorii, w dzisiejszej jej wersji, pisanie wprost o jednoczesnych pomiarach pędu i położenia jest równie niebezpieczne jak krytyka niektórych posunięć niektórych rządów, niemniej są sposoby by więzienia za taką krytykę uniknąć. Trzeba się tylko odpowiednio ostrożnie wyrażać. I tak też fizycy od dawna robią.

Choć w teorii kwantowej nie ma formuł na jednoczesny, łączny rozkład prawdopodobieństwa dla położenia i pędu, jest jednak „pseudo-rozkład”. Nazywa się to „funkcją Wignera” lub „dystrybucją Wignera”. Formułę można znaleźć w (angielskiej) Wikipedii pod hasłem Wigner quasiprobability distribution.

Wigner's function

Gdy funkcja falowa psi jest unormowana, to całka z funkcji Wignera (wzięta w jakimś tam, odpowiednim sensie) daje 1, co sugeruje, co jest (powinno być) jedną z podstawowych własności rozkładu prawdopodobieństwa.

Dla stanów oscylatora harmonicznego o określonej, skwantowanej energii, funkcje Wignera daje się wyliczyć. Same funkcje falowe, jak to widzieliśmy w poprzednich notkach, mają w sobie funkcję eksponencjalną mnożoną przez wielomiany Hermite'a. Ich funkcje Wignera mają funkcję eksponencjalną mnożoną przez wielomiany Laguerre'a. I tu odpowiednią formułę możemy znaleźć w angielskiej Wiki:

Sam tej formuły wyprowadzić nie potrafię, w posiadanych przeze mnie podręcznikach podana jest też bez wyprowadzenia. Zapewne wynika z jakichś tablic całek. Nie mam powodu by tej formule nie ufać. Sprawdziłem dla n=5,6,7 – zgadza się. Zatem prowizorycznie akceptuję dla wszystkich n.

Nasz oscylator jest symetryczny w p i x – tak sobie, dla ułatwienia, przyjąłem. Stąd funkcja Wignera zależy jedynie od p2+x2. Gdy się ją maluje, wychodzą kapelusze, takie jak ten:

Jednak, ze względu na symetrię, malowanie jej na płaszczyźnie mija się z celem. W dodatku kapelusz może ukrywać pod sobą sprawy niestosowne(nie będę przypominał znanych dowcipów o plaży i kapeluszu). Dlatego wprowadziłem współrzędne biegunowe i namalowałem jedynie zależność od współrzędnej radialnej r. Dodatkowo przeskalowałem, jak w poprzedniej animacji, tak by klasyczny punkt zwrotny był zawsze dla r=1. Wrzuciłem na Youtube.

Co pod osią poziomą – to upiory – ujemne prawdopodobieństwa.

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie