Zdani na los - błądzimy

Mówimy czasem o kimś: jest jak chorągiewka na dachu. Zwraca się w tę stronę, gdzie wiatr powieje. Istotnie, wystawiani jesteśmy na pokusy i nie zawsze potrafimy (czy chcemy) nad nimi zapanować. Nawet święci miewają z tym problemy. Na początku „Historii jednego odkrycia”

cytowałem z „Listu do Rzymian” św. Pawła: „Nie rozumiem bowiem tego, co czynię, bo nie czynię tego, co chcę, ale to, czego nienawidzę - to właśnie czynię.”

Czasem wpadamy w inną skrajność. Wieje sprzyjający wiatr, który mógłby, dzięki naszym żaglom i sterowi, zanieść nas do nowej ziemi i otworzyć nam oczy na nowe rzeczy lecz my, w obawie przed nowym, „przezornie” zarzucamy kotwicę lub, dla bezpieczeństwa, parę kotwic i „nie dajemy się ponieść pokusie” i opuścić „bezpiecznej” przystani.

Bywa i tak i tak. Wszak to nie o filozofii życia chcę poświęcić dzisiejszy wpis.

Chcę zwięźle opisać „błądzenie losowe”, co będzie wprowadzeniem do idei „stanów czystych” i stanów nieczystych (mieszanych) oraz ich roli w teorii kwantów i filozofii związanej z tą sto lat już mającą a wciąż jeszcze tajemniczą teorią.

Co się dzieje z człowiekiem zdanym wyłącznie na los? Aby to obrazować zapraszam do prostej gry losowej. Przypuśćmy, że mamy monetę i że rzucając tą monetę z równym prawdopodobieństwem wychodzą orzeł i reszka (O i R). Na początku gry znajdujemy się w punkcie x = 0:

Rzucamy monetą i jeśli wyjdzie O, robimy krok w prawo, przechodząc do punktu x = +1, jeśli zaś wyjdzie R, robimy krok w lewo i przechodzimy do punktu x = -1. Po zrobieniu kroku, czy to w prawo czy w lewo, ponownie rzucamy monetą i znów, zależnie od tego czy wyjdzie O czy R, robimy krok w prawo lub w lewo. I tak robimy, powiedzmy, 100 razy.

Pytanie: gdzie się znajdziemy po stu krokach?

Oczywiście, nie można na to pytanie dać pewnej odpowiedzi. Na pewno GDZIEŚ się znajdziemy, na przykład w x = +2.

Na pewno nie zajdziemy od zera dalej niż na sto kroków, to jedno jest pewne, ale gdzie konkretnie? Tego nie możemy powiedzieć, bo zależy to od „losu”.

Na tym jednak nasza wiedza się nie musi się skończyć. Przychodzą bowiem na pomoc zarówno doświadczenie jak i matematyka.

A) Doświadczenie:

Aby przeprowadzić samodzielnie to doświadczenie, lub raczej całą serię doświadczeń, trzeba by nam było wiele, wiele czasu czasu. Szczęśliwie podobne zjawiska zdarzają się w przyrodzie (np. dyfuzja molekuł barwnika w cieczy) i możemy je po prostu obserwować. Możemy się również posłużyć szybkim komputerem, który jest w stanie imitować losowość, imitować wystarczająco dobrze jak na nasze skromne potrzeby.

Przeprowadźmy nasze doświadczenie, powiedzmy, tysiąc razy. Będziemy mieć tysiąc historii „błądzenia pijanego”, bo do pijanego można porównać człowieka posługującego się monetą, by zdecydować w którą stronę ma się udać. Każda historia liczy sto kroków. Na końcu każdej z tysiąca serii zanotujemy położenie końcowe – jak daleko nasz pijak zawędrował. Czasem zawędruje do +1, czasem uda mu się zakończyć swą podróż w -10. Ale ile z tego tysiąca podróży skończy się w +1, a ile w -10?

Czy jest tu jakaś „prawidłowość”? Intuicyjnie jest jasne, że nie zajdzie zbyt często aż do x=100,

bowiem do tego potrzebna by mu była seria stu orłów pod rząd, co wydaje nam się „mało prawdopodobne”. Ale co poza tym? Komputer z łatwością symuluje taką serię tysiąca błądzeń pijanego (choć z symulacjami komputerowymi trzeba być ostrożnym, te bowiem, używające generatorów pseudo-losowych, mogą dawać więcej orłów niż reszek, a to z powodu szczególnych własności „ciał skończonych”) Oto wynik symulacji, gdzie komputer zliczył ile razy zdarzyło się naszemu pijanemu zakończyć podróż w każdym z danych punktów.

Każdy może sobie sam eksperymentować tutaj, jeśli ma zainstalowaną Javę.

Widać, że pojawia się charakterystyczny kształt krzywej w kształcie dzwonu. Widzimy, że kształt ten jest mniej więcej symetryczny, co nas nie powinno specjalnie dziwić (dlaczego?). Widać też jednak, że najczęściej pijak nie zakończy swej podróży daleko od punktu wyjścia, co jest nieco zadziwiające, nieprawdaż? W istocie, okazuje się, że „szerokość” naszego grafu, jeśli ją mierzyć pierwiastkiem kwadratowym ze średniego kwadratu odległości od punktu wyjściowego, jest mniej więcej proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z liczby kroków.

B) Matematyka

Posługując się matematyką, prostym rachunkiem prawdopodobieństwa możemy wyliczyć „teoretyczny” kształt grafu. Ten jest pięknie symetryczny i regularny:

Przy pomocy matematyki możemy też kroki uczynić coraz mniejszymi, przejść „do granicy”, gdy długość kroku staje się „nieskończenie mała” a odstęp czasu pomiędzy krokami też „nieskończenie mały”. Możemy też zrobić wykresy naszej teoretycznej krzywej po różnym czasie i te krzywe porównywać. Nazywa się tą „ciągłym modelem dyfuzji”. Otrzymamy wtedy coś takiego:

A co to wszystko ma wspólnego ze „stanami czystymi” i „stanami mieszanymi”?

Kiedy obserwujemy jedną historię i notujemy, że na końcu znajdujemy się w punkcie x, np x = +3, to opisujemy „stan czysty” błądzącego. Już lepiej jego położenia określić nie można. Kiedy jednak podajemy graf, taki jak nasza funkcja dzwonowa powyżej i mówimy, że opisuje ona proces błądzenia, jest to stan mieszany. Nie dotyczy indywidualnego osobnika a dotyczy zespołu statystycznego osobników, zespołu powstającego w wyniku określonej procedury, w tym przypadku wędrówki z rzucaniem monetą. Każda historia z osobna nie jest rozmyta, jest konkretna. Tyle, że niewiele w tej historii jest do przewidzenia z pewnością (np. nie wiele ponadto, że po stu krokach nie zajdziemy dalej niż na sto kroków!). Badając jednak zespół statystyczny historii widzimy, że zbliża się on do teoretycznie przewidywalnej krzywej, która jest charakterystyczna dla naszej procedury. Gdyby nasza moneta była niewyważona, kształt krzywej uległby zmianie. Oto np. wynik symulacji w przypadku gdy prawdopodobieństwo orła jest trzy razy mniejsze od prawdopodobieństwa reszki:

Uwaga: Parę dodatkowych informacji można znaleźć w polskiej Wikipedii pod hasłem „błądzenie losowe”

Podsumowując: „stan czysty” to maksymalna informacja o danym „osobniku”. „Stan mieszany” to informacja statystyczna o procedurze stosowanej przez „fabrykę” produkującą zespół statystyczny osobników.

Różnica pomiędzy stanami czystymi jest, pod tym względem, taka sama w przypadku fizyki klasycznej jak i kwantowej. Wszak w przypadku fizyki kwantowej dochodzi jeszcze jeden niesłychanie ważny element – „figura statystyczna w mechanice kwantowej nie jest sympleksem”. Zanim jednak do tego dojdziemy warto będzie porozmawiać o innych błądzeniach i procesach losowych.

Nie mogę tu sobie odmówić jeszcze jednej uwagi natury filozoficznej. Oto ona: myśląc o sobie samych wydaje nam się, że jesteśmy jednością. Wszak, jak zauważyłem na początku tego wpisu, filozofowie, psycholodzy (np. Jung) i mistycy (np. św. Paweł) dostrzegają iż tak na ogól nie jest. Jesteśmy wielością, mamy wiele „osobowości”, jedne bardziej „naturalne”, inne ewidentnie „fałszywe”. W dodatku rzadko kiedy zdajemy sobie sprawę z tego. Najczęściej jedna „osoba” nie wie, czy nie chce wiedzieć, o tych innych, zamieszkujących w tym samym ciele. W średniej jesteśmy więc stanem mieszanym, produktem „fabryki” o której procesie produkcyjnym nie mamy pojęcia. Poprzez uświadomienie sobie naszego pomieszania, poprzez pracę nad sobą, możemy wszak zacząć mieć wgląd w ten proces produkcyjny i przejąć nad nim choć częściową kontrolę, stać się „kowalami własnego losu”. Jung nazywa to procesem krystalizacji i indywiduacji. Zajmuje się tym też tzw. „alchemia”. Z pozoru alchemia dotyczy przemiany zwykłego metalu, np. ołowiu w złoto. Ale to tylko „z pozoru”, bo rzecz dotyczy, tak naprawdę, przemian wewnętrznych w człowieku. Rozumiał to Jung, rozumiał to jeden z najsłynniejszych „alchemików” - Fulcanelli (to pseudonim, bo Fulcanelli tak naprawdę był znanym fizykiem, członkiem Francuskiej Akademii Nauk. )

W teorii kwantów, okazuje się, możemy mieć do czynienia z podobnym zjawiskiem. Na ogól działa „prawo entropii”, tzn. przypadkowe zaburzenia zewnętrzne, niekontrolowane „otoczenie”, powodują to, że „proces produkcji” coraz bardziej miesza. Zwiększa się entropia do tego stopnia, że „w granicy” możemy „w ogóle niczego nie być pewnymi”. Zamiast krzywej na kształt dzwonu możemy otrzymać jednakowe prawdopodobieństwo znalezienia się w każdym punkcie – prostą poziomą.

Uwaga: bystry matematyk natychmiast wtrąci tu swoje trzy grosze, by go uprzedzić muszę dodać, że jest to możliwe tylko wtedy, gdy zbiór stanów czystych jest zbiorem zwartym.

Możliwy jest, wszak, także proces odwrotny. Prowadząc odpowiednio zorganizowane obserwacje możemy, pomimo losowości, „wyczyścić” proces

produkcji obiektów kwantowych i przeciwdziałać entropii. W teorii kwantów pomaga tu zorganizowana i kontrolowana „obserwacja”.

W życiu człowieka może pomóc „samoobserwacja”.

Mój Czytelnik i, jak wiem z doświadczenia, bystry obserwator niechybnie zauważył, że mieszam matematykę, fizykę i, delikatnie mówiąc, metafizykę. Może nawet się na to obruszyć. Ale, pozwolę sobie zauważyć, kiedy piszę o matematyce czy fizyce, to trzymam się tematu. A kiedy skończę z matematyką czy fizyką, wtedy dzielę się z Czytelnikiem moimi refleksjami ogólno-ludzkiej natury. Po to są środki komunikacji, by je wykorzystywać do dzielenia się spostrzeżeniami – tak mi się przynajmniej wydaje.