By w sposób precyzyjny odpowiedzieć na to pytanie należy cofnąć się do prehistorii tej dyscypliny. Algebra i geometria powstały w celach użytkowych. To jednoznaczne stwierdzenie ile posiadam, za ile mogę coś nabyć i ile mam środków pieniężnych którymi mogę opłacać pracę i usługi innych osób. Kluczowe jest tu słowo „jednoznaczne” – określenie definiujące sposób interpretacji danej wielkości, odbierane i rozumiane przez innych dokładnie w ten sam sposób.
Ludzie odziedziczyli po zwierzęcych przodkach rozmyty system liczenia. Zbudowany na kilku synonimach „ kilka” „dużo” „bardzo dużo” metajęzyk potrafił co prawda określać ile jest czego w przybliżeniu ale nie pomagało to w transakcjach wymiennych lub handlowych. Ponieważ nasz pierwotny metajęzyk zawierał trzy precyzyjne pojęcia „ jeden”, „dwa”, „trzy” zaczęto stosować multiplikację tych pojęć tworząc podwaliny algebry i sposobu mierzenia płaskich przestrzeni. Matematyka stała się odzwierciedleniem natury i procesu odbioru bodźców z otoczenia przez człowieka. Pomagała efektywnie prowadzić handel, wygrywać i toczyć wojny.
Przedstawiam ten proces w dużym uproszczeniu, nawiązując do cechy którą odkryto już w starożytności. Nazywam to względnością opisu. Każde zjawisko można opisać używając stopni prostoty. Matematyka dała nam formalizację poszczególnych stopni uproszczonego opisu danego zjawiska lub rzeczy. Rozwój pisma pozwalał przedstawiać wielkości w formie która była mogła być odczytana w ten sam sposób przez Egipcjan, Fenicjan i inne ludy. Tu obserwujemy ewolucję od prostych pierwotnych odwzorowań / liczba kresek jako synonim liczności czegoś/ , po symboliczne przedstawienie danej wielkości w postaci umownego znaku.
Matematyka jest więc symbolicznym odwzorowaniem otaczającej nas rzeczywistości i pełni tą funkcję do dzisiaj. Jest symbolicznym językiem opisu, definiującym sposób zapisu liczności i wzajemnych relacji zachodzących między nimi, definiując jednocześnie poziom uproszczenia prostoty opisu.
Początkiem abstrakcyjnych form matematyki było odkrycie zera. Pojęcie zera nie mieści się w ludzkim aparacie pojęciowym, jest czysto abstrakcyjne. W łatwy sposób możemy to zwizualizować porównując dwa zdania opisujące tą samą liczność:
Na tej drodze NIE MA żadnych samochodów
Na tej drodze JEST zero samochodów.
Nasz umysł jest nastawiony na rejestrację tego co jest. A jeśli tego co jest, nie ma?
Upowszechnienie się zera zawdzięczamy Arabom i Hindusom. W Europie dopiero w X wieku, papież Sylwester oficjalnie zalegalizował zero.
Rozwój abstrakcji odkrył przed nami jeszcze jedną cechę matematyki: sposób organizacji danych – możliwość stworzenia wielu równorzędnych struktur opisu danego zjawiska. Wyróżniając wybrane elementy danej struktury i wiążące je relacje, otrzymujemy możliwość opisu danego zjawiska. Najprostszym przykładem jest pojęcie funkcji gdzie analizujemy dwie wybrane wielkości i ich relację względem siebie, pomijając inne wielkości i siły uczestniczące w danym procesie.
Chcę tu nawiązać do prawa relatywizmu językowego lub inaczej hipotezy Sapira – Whorfa i odnieść ją do symbolicznego języka matematyki. Sama hipoteza dotyczy języków naturalnych, niemniej jej twierdzenia mają oczywiste konotacje w matematyce.
Silniejsza postać hipotezy, inaczej determinizm językowy, mówi, że język całkowicie determinuje myślenie i zachowania ludzi – struktury językowe decydują o postrzeganiu własnego „ja” przez jednostkę, a także osadzają ją w pewnych schematach poznawczych.
Mówiąc precyzyjniej: sposób myślenia jest funkcją używanego języka.
O Ile w odniesieniu do języków naturalnych zjawisko relatywizmu językowego jest często kwestionowane / i słusznie/ o ile w odniesieniu do języka syntetycznego jakim jest matematyka ma ono głębszy sens. Na bazie istniejących struktur językowych tworzone są poprzez negację, multiplikację, łączenie lub wyróżnienie wybranych elementów, nowe struktury abstrakcyjne. Język matematyki determinuje sposób analizy danych, pozwalając tworzyć byty abstrakcyjne. Jest prawdą że matematyk myśli „inaczej”. Bo jego sposób myślenia determinuje sama struktura języka.
Definiuje to matematykę jako jedyną dyscyplinę naukową która tworzy nowe wartości poznawcze, tworząc nieistniejące byty, na bazie syntetycznego języka jakim jest.
Bardzo szybko okazało się że te nieistniejące byty coraz częściej nadają się do praktycznego zastosowania. Świat okazał się bardziej złożony niż wszelkie domysły starożytnych filozofów a matematyka „abstrakcyjna” dostarczyła narzędzi ich formalnego opisu. STW, OTW i mechanika kwantowa to przede wszystkim abstrakcyjne języki opisu tych zjawisk. Ich istnienie pośrednio zrodziło te koncepcje / np.: pojęcie czasoprzestrzeni w OTW/ Na nich opiera się współczesna fizyka i coraz częściej praktyczna w zastosowaniu technologia.
Bardziej niż królową nauk matematyka jest więc fundamentem każdej możliwej dziedziny wiedzy. Glebą na której rosną teorie naukowe i nowe dyscypliny naukowe. Nie wszystko jednak w samej matematyce jest jednoznaczne – wbrew pozorom jest ona ściśle powiązana z naszą biologią i sposobem rejestracji i przetwarzania bodźców z otoczenia.
Kolos na glinianych nogach
Podstawą matematyki są definicje, twierdzenia i dowody. Na tym najbardziej podstawowym poziomie pojawiają się wątpliwości i wieloznaczność. Matematycy ignorują naszą biologię posługując się zastępczymi synonimami. Nazywamy to pojęciami pierwotnymi, intuicją które z założenia są niedefiniowalne. Przyjrzyjmy się bliżej:
Definicja to kompleksowy opis danego obiektu lub zjawiska oddający jej cechy kluczowe bez których dany obiekt lub zjawisko nie istnieje, Nie jest więc opisem szczegółowym. To możliwie największy stopień uproszczenia, redukujący dany obiekt lub zjawisko do cech podstawowych.
Definicja różni się od aksjomatyki. Aksjomatyka to zbiór twierdzeń, które dostarczają nam opisu danego zjawiska lub obiektu, pod warunkiem że są prawdziwe. Często to matematyczny krzyk rozpaczy – wobec niemożności skonstruowania precyzyjnej definicji, matematyka ratuje się aksjomatyką.
Do dziś nie ma precyzyjnych definicji najbardziej podstawowych pojęć matematycznych. Coraz częściej spotyka się stwierdzenia że definicje nie są nam potrzebne a sam opis oparty na aksjomatach jest więcej niż satysfakcjonujący. Zapomina się o istotnej różnicy.
Precyzyjne określenie istoty / cech i właściwości wspólnych/ obiektu lub zjawiska jakie daje nam poprawnie skonstruowana definicja, zawsze jest jednoznaczne. Określa ono zakres stosowalności danego pojęcia. Tego nie daje nam aksjomatyka.
Negowanie ujęcia aksjomatycznego jest jednak podejściem nieprawidłowym. Definicja i systemy aksjomatyczne uzupełniają się wzajemnie. To dwa różne oblicza analizy obiektu lub zjawiska. Warto wspomnieć że właśnie na aksjomatyce opartych jest wiele wartościowych dowodów matematycznych. Obie formy są ważne i potrzebne.
Czym jest więc matematyka? Przede wszystkim sposobem patrzenia na świat, możliwością jego poznawania i wielką życiową przygodą ludzkości. To nieustanna wyprawa w nieznane, poznawanie nowych światów. To wciąż nowe wyzwania.
Twierdzę że nie istnieje coś takiego jak czysta matematyka lub matematyka abstrakcyjna. To co dzisiaj jest abstrakcją, jutro będzie sformalizowanym opisem naszego świata. Nie wiemy czy nasz świat jest jedynym z możliwych. Chcąc przetrwać musimy go zrozumieć, zdobyć nad nim władzę. To właśnie matematyka daje nam taką szansę.
