Pasma i prąd elektryczny (zwykły)

W fizyce (tej prawdziwej) praktycznie nic nie dzieje się nagle. Dlatego fizyka nie jest  „medialna”. Wbrew twierdzeniom wielu dziennikarzy, a nawet popularyzatorów nauki właściwie żadna teoria nie „obalała” niczego. J.J.Thomson miał odwagę nazwać promienie katodowe elektronami, ale przedstawił model atomu typu „ciasto z rodzynkami”, który obowiązywał praktycznie do doświadczeń Rutherforda, których wynik (odbijające się wstecz cząstki alfa) wzbudził we wszystkich osłupienie. Potem nastąpiły kolejne kroki – model Bohra, równanie Schroedingera, Diraca...

Transformacja Lorentza była znana przed sformułowaniem STW, zaś fakt, że siła bezwładności wpływa w istotny sposób na ruch ciał w polu grawitacyjnym znany był świetnie Sir Izaakowi Newtonowi (polecam po raz kolejny lekturę „Pryncypiów...” ale ostrzegam nie jest to łatwa książka „do poduszki”). Czy to umniejsza zasługi Einsteina? Skądże! Ale fakt, że zasady dynamiki w formie sformułowanej przez Newtona są relatywistycznie niezmiennicze zmusza do podziwu geniuszu twórcy „Pryncypiów”.

Podobnie działo się w fizyce ciała stałego. Model swobodnych elektronów wprowadzony przez Drudego zawodził przy wyznaczaniu ciepła właściwego metali w niskich temperaturach – wymagał więc poprawy. Dokonał tego Sommerfeld wprowadzając statystykę Fermiego-Diraca. Oparta jest ona o zakaz Pauliego, który większość powinna poznać w szkole i który wyjaśnia budowę okresowego układu pierwiastków Mendelejewa. Ponieważ cząstki o spinie połówkowym „nie lubią się wzajemnie” i dwie z nich nie mogą się znaleźć w tym samym stanie energetycznym zajmują te stany „po kolei”, co oznacza, że nawet w temperaturze 0 K energia gazu z nich złożonego jest całkiem spora, a energia zajętego stanu o najwyższej energii (w temp. 0 K) nosi nazwę potencjału chemicznego i zwana jest często energią Fermiego (uwaga: celowe uproszczenie!).

Jednak model Drudego-Sommerfelda, choć dawał sobie już radę z ciepłem właściwym metali i całkiem sporą liczbą innych zjawisk w dalszym ciągu nie wyjaśniał w wystarczający sposób przepływu prądu elektrycznego – a w szczególności zjawiska oporu elektrycznego. Spowodowane to było stosowaniem klasycznych równań ruchu elektronów, do których należy oczywiście zastosować równania mechaniki kwantowej. Elektrony w metalu poruszają się w polu elektrycznym wytwarzanym przez dodatnie jony sieci krystalicznej. Ze względu na to, że sieć krystaliczna charakteryzuje się periodycznością wytwarzane przez te jony pole ma również charakter periodyczny. Powstał uproszczony model Kroniga-Penneya, w którym udało się rozwiązać równanie Schroedingera (dziś ten to rozwiązanie jest obowiązkowym zadaniem dla studentów fizyki). Wynik okazał się dość zaskakujący – o ile dla cząstek swobodnych związek pomiędzy energią i pędem jest funkcją kwadratową: E = p^2/2m to w przypadku elektronów w metalu jest „prawie” funkcją kwadratową, bo na jej wykresie (parabola) występują dziwne przerwy (patrz rysunek na początku notki). Nie wszystkie energie są więc dozwolone – pojawiły się nam pasma i przerwy energetyczne! „Przyzwoita cząstka” tak się nie zachowuje – wprowadzono więc termin „quasicząstka”.

Dziś pasma i przerwy energetyczne znane są każdemu, kto choćby „liznął” fizykę półprzewodników. Teoria pasmowa jest podstawą przemysłu półprzewodnikowego a tym samym i komputerowego. Nauczyliśmy się różnymi metodami wpływać na stany energetyczne wprowadzając domieszki do ciał stałych – no i doszliśmy do procesorów zawierających miliony tranzystorów w jednym kryształku.

Tak naprawdę o właściwościach elektrycznych ciała stałego decyduje rozkład stanów energetycznych tworzących pasma, przerwy pomiędzy, stany związane z domieszkami no i położenie energii Fermiego. Jeśli poziom Fermiego wypadnie wewnątrz dozwolonego pasma energetycznego mamy do czynienia z przewodnikiem. Jeśli wypadnie w przerwie – mamy izolator (uwaga: uproszczenie!). Ruch elektronów może uzyskać średnią prędkość unoszenia różną od zera tylko wówczas, gdy elektrony mają do dyspozycji wolne stany energetyczne. Czyli wówczas, gdy pasmo nie jest całkowicie wypełnione, bo w takim paśmie liczba elektronów poruszających się w prawo będzie zawsze równa liczbie poruszających się w lewo (uwaga: uproszczenie!) ze względu na kwadratową zależność energii od pędu. W typowym metalu mamy do czynienia z częściowo zapełnionym pasmem zwanym „pasmem przewodnictwa” i elektrony mogą uzyskać prędkość unoszenia i popłynie prąd.

Dociekliwych zapraszam do rozważenia co się stanie, gdy zetkniemy dwa różne metale o różnych potencjałach chemicznych (energiach Fermiego) gazu elektronowego?

Czy to już koniec? Ależ skąd! A gdzie opór elektryczny i świecenie żarówki?

Dotychczas uważaliśmy, że elektrony widzą jony siatki krystalicznej siedzące bez ruchu w swoich pozycjach – a przecież to nie jest prawda, bo one drgają wokół położeń równowagi (ruch termiczny). Co gorsza – jony te oddziaływują pomiędzy sobą – a więc drganie jednego pociąga za sobą drgania innych. W sieci krystalicznej pojawia się więc fala sprężysta, którą nazywamy fononem. Dla wygody obliczeń fonon to też „quasicząstka”. Im więcej fononów – tym ciało cieplejsze i rozkład potencjału, w którym poruszają się elektrony staje się „mniej periodyczny” a bardziej przypadkowy. Zaburza to ruch nośników prądu (w typowym metalu elektronów), które zaczynają „rozpraszać się na fononach” i opór elektryczny metalu rośnie oraz energia związana z przepływem prądu jest przekazywana do sieci krystalicznej (powstaje coraz więcej fononów). Temperatura sieci zaczyna rosnąć – i żarówka świeci! Energia jest wypromieniowywana do otoczenia i ustala się równowaga (fonony rodzą się oraz giną – a jako cząstkom Bosego-Einsteina wolno im to robić „w pojedynkę”).

Skomplikowane? Tak, dość skomplikowane. Ale o ile jeszcze żarówkę można zrobić w oparciu o badania empiryczne to procesora nawet 8 bitowego już nie.

Wszystkich fizyków ciała stałego proszę o wybaczenie uproszczeń. Starałem się opisać efekty związane z przewodnictwem „własnymi słowami” bez użycia równań (zwłaszcza mechaniki kwantowej). Oczywiście nie mogło się to całkowicie udać, ale może przynajmniej udało mi się rzucić nieco światła na budowę tego „gmachu wiedzy”, z którym z takim uporem (godnym lepszej sprawy) walczą „obalacze”.