Pora na kontynuację i pierwsze rezultaty. Układ B po minięciu układu A oddala się z pr. v (p. poprzednie notki). Wiemy już, że jeśli jakieś zdarzenie nastąpi na rufie B i zegar tam umieszczony zanotuje czas t, to te samo zdarzenie wg zegara w ukladzie A wystąpi w czasie T=t/g. Będziemy konsekwentnie używać dużych liter na oznaczenie współrzędznych przestrzennych i czasowych w układzie A i małych liter w B.
W naszym przykładzie tym zdarzeniem było dotarcie sygnału wysłanego z rufy A do rufy B. Ale oczywiście wzór jest prawdziwy dla każdego zdarzenia które następiło na rufie B, w dowolnym czasie. Jeśli umieścimy na dziobie B zegar zsynchronizowany z tym na rufie, to czy czas zdarzenia na rufie będzie tym samym czasem na dziobie? Z perspektywy B, oczywiście tak. Ale czy będzie tak samo z perspektywy A? Innymi słowy, czy jednoczesne zdarzenia na dziobie i rufie B będą równoczesne z perspektywy A?
Znane doświadzenie myślowe pokazuje że nie. Sygnał świetlny wysłany ze środka B i obserwowany z B, dotrze do dziobu i rufy w tym samym momencie. Obserwowany z A nie dotrze, bo goni uciekający dziób B i biegnie naprzeciw zbliżającej się rufy B. Więc z perspektywy A, sygnał najpierw dotrze do rufy B a dopiero później do dziobu. Czyli zdarzenia jednoczesne w B nie muszą (a nawet nie mogą) być jednoczesne w A.
Jaka będzie ta różnica czasu między rufą a dziobem widziana z A? Pamiętamy, że długość statku B którą oznaczymy x, z perspektywy A jest krótsza i wynosi gx. Odległość do przebycia przez sygnał od centrum B do dziobu i rufy wynosi gx/2. Czas dotarcia do rufy to gx/(2(c+v)) a czas dotarcia do dziobu gx/(2(c-v)). Czyli różnica czasu dziobu B względem rufy widziana z A jest:
gx/2 * (1/(c-v) - 1/(c+v)) = gxv/(c² - v²)
To teraz kluczowe pytanie. Jeśli znamy czas zdarzenia (t) i jego położenie (x) na B, to jaki będzie czas T tego zdarzenia na A?
W naszym przykładzie, sygnał dotarł do rufy B (zdarzenie) o czasie t. Na dziobie B był wtedy również czas t. Na A był czas t/g. Jaki był (wg. A) czas równoczesnego zdarzenia na dziobie B? Trzeba do czasu t/g dodać powyżej obliczone opóźnienie między rufą a dziobem.
T = t/g + gxv/(c² - v²)
Po paru nudnych przekształceniach:
T = 1/g (t + vx/c²)
Przypominam. Korzystając z tego wzoru można obliczyć jaki będzie czas T zajścia jakiegoś zdarzenia zanotowany w A jeśli znamy czas t i miejsce x tego samego zdarzenia w układzie B. Innymi słowy, pokazuje jak PRZETRANSFORMOWAĆ współrzędne w B żeby otrzymać współrzędną czasu w A, jeśli A i B poruszają się względem siebie z prędkością v. To jest właśnie jeden z dwóch wzorów stanowiących transformację Lorentza.
Został nam do wyprowadzenia drugi, który pozwoli obliczyć, jakie miejsce zdarzenia X zanotuje A, gdy znamy czas t i miejsce x tego zdarzenia w B jak poprzednio.
