Problem Collatza. Część 4 Wstęp symetriach i przemienności

Mam sporo przemyśleń filozoficznych na temat tego problemu ale nie chce zanudzać czytelników. Lepiej operować gołymi faktami. By to jednak zrobić trzeba cofnąć się do podstaw.

   Musimy jasno zrozumieć co to jest ciąg i jakie prawa w nim zachodzą. Dla mnie podstawowe prawo w ciągach jest relacja rodzic-dziecko. Ta relacja tworzy ciągi i bez niej żaden ciąg nie może istnieć. Przykładowo. Mamy ciąg liczb porządkowych. Dowolna liczba porządkowa n jest rodzicem liczby n+1. Liczba n+1 jest rodzicem kolejnej liczby porządkowej jaka jest jego dzieckiem. Wydaje się to banalne. Każdy ciąg ma określoną strukturę. Strukturę określa jakiś wzór. Każdy element ciągu ma rodzica i dziecko. Tak działają typowe ciągi. Jednak ciągi Collatza są inne.

   Co jest w nich innego? Otóż elementy tych ciągów można podzielić na te co mają jednego rodzica lub więcej. Liczba jaka ma dwoje rodziców tworzy odgałęzienie ciągu głównego (przypominam jest to ciąg 2 do potęgi k). Poza tym trzeba wspomnieć o odwróconym drzewie Collatza. Klasyczny wzór na ciąg collatza to:

n/2 dla liczb parzystych

3n+1 dla liczb nieparzystych

Tak struktura dla dowolnej liczby startowej n, sprowadza ciąg do postaci 4,2,1. Tworzy się nieskończona pętla. To jednak jest powrót do przeszłości, ciąg jest malejący w każdym swoim zakresie co dość łatwo jest udowodnić (jeśli ktoś ciekawy tego dowodu, to mogę napisać notkę jak taki dowód wyprowadzić). Teraz jednak postawmy sprawę na głowie. Zamieńmy rodzica z dzieckiem, czyli sprawdźmy nie co jest po liczbie n, ale co jest przed nią. Trzeba nasze wzory przekształcić by generowały liczby poprzedzające n, a nie następujące po niej. Tak więc:

2n dla liczb parzystych

(n-1)/3 dla liczb nieparzystych

  No to przykład. Klasycznie mamy od n startowej 6 mamy taki ciąg:

Po przekształceniu jednak niespodzianka:

6->12->24->48....czy trafi się liczba nieparzysta? No nie trafi i raczej nawet tego nie trzeba dowodzić. Natomiast pewne jest że odwrócony ciąg Collatza nigdy w tej wersji nie natrafi na drugą linie algorytmu. Często nazywane jest to przejściem w ciąg pionowy. To widać lepiej gdy sobie zrobimy siatkę i pozaznaczamy jak się liczby układają na płaszczyźnie.

   Pytanie moje w tym momencie jest kiedy liczba jest rodzicem, a kiedy dzieckiem? Odpowiedź moim zdaniem jest dość łatwa, choć nieintuicyjna. Każda liczba jest jednocześnie rodzicem i dzieckiem. Ciągi Collatza wyróżnia to, że w nich występują liczby jakie mają więcej niż jednego rodzica....co nie występuje w typowych ciągach. Zachęcam do samodzielnego zastanowienia się czemu tak się dzieje. Warto o tym pomyśleć bo powstają problemy z symetrycznością i z przemiennością. Dla czego? Bo jesli dziecko ma dwoje rodziców, chcą wykonać operacje odwrotną, nie wiemy w jaki ciąg się udać. Przykład:

10=3x3+1 lub 10=20/2

To samo dziecko (liczba 10) ma dwóch rodziców. Nieparzysta liczbę 3, oraz parzystą liczbę 20. Jakie kryteria wybrać by określić jaka ścieżka jest prawidłowa? Może to jednak działa jak teoria kwantów że obydwie wersje są prawidłowe jednocześnie, do momentu kolapsu (koherencji), w momencie gdy wygenerujemy liczbę nie n+1, ale n+2 (nie nominalnie ale n+1 to pierwszy krok, a n+2 to drugi krok niezależnie od wartości jaką nominalnie uzyskamy).

   Fascynuje mnie ten problem i będę nad nim jeszcze rozmyślał i jeśli coś tam wykumam, to o tym napisze.

Pozdrawiam

ps tekst można krytykować i cytować do woli pod warunkiem podania autora