Witam, celem notki nie jest omawianie tego problemu, bo materiałów na ten temat jest dość sporo. Np popularne umówienie mamy w tym filmie:
Problem Collatza
Z mojego punktu widzenia, to bardziej problem informatyczny niż matematyczny. Codziennie informatycy zmagają się z pętlami w algorytmach. Sama konstrukcja nie jest strkte matematyczna, ale jest algorytmem typu If, then goto w dwóch liniach. Jednak jesli dokładnie się przyjrzymy, to okazuje się że nie jest 2, a 3 warunki. Ogólny zapis to:
Algorytm wydaje sie prosty ale w nim jest ukryty jeszcze jeden warunek jaki nie jest zapisany w sposób jawny. Mówię tu o wyborze czy liczba n jest parzysta czy nie. Został on zapisany w sposób tekstowy a nie matematyczny. Moge sie tylko domyślać czemu tak jest zrobione, ale domysły nas nie interesują.
Czas zacząć od ciekawostek. Liczba startowa od jakiej budujemy ciąg Colatza nie jest zdefiniowana. Wybieramy ją w sposób dowolny. Nie ma żadnej definicji jak mamy to robić. Dowolna liczba porządkowa jest równie możliwa. Nie podoba mi się to. Jednak do tego przejdę następnym razem. Dzisiaj chce wrócić uwagę na to że istnieją liczby "specjalne".
Najprostszym przykładem jest liczba 2 do potęgi k (2^k). Czemu tą liczbę uważam za specjalną? Jeśli generujemy kolejne liczby w ciągu Colatza i natrafimy na liczbę 2^k, algorytm redukuje się tylko do kroku 1 i po skończonej ilości kroków wartość kolejnych n dąży nieuchronnie do 1. Dla małych wartości startowych n, bardzo łatwo trafić na liczne 2^k, ale wraz z wzrostem wartości startowej n, gęstość liczby 2^k dramatycznie spada. Jednak dla dowolnego przedziału osi liczbowej aż do nieskończoności, te liczby się pojawiają. Ciąg liczb 2^k jest ciągiem nieskończonym. Tak więc nie zależnie od wielkości n, w końcu nieuchronne jest natrafienie na liczbę 2^k, a co za tym idzie, redukcje ciągu do 1.
W takim ujęciu sprawy, to że ciąg redukuje się do pętli 4,2,1 nie stanowi już żadnej tajemnicy. Gdy zagłębiałem się w lekturę o problemie Colatza okazało się że jest ona silnie spenetrowana pod tym względem. Film jaki pokazałem on omawia tak naprawdę czubek góry lodowej. Pod powierzchnia wody dzieją się rzeczy niesamowite. Okazuje się że liczb specjalnych w tych ciągach jest znacznie więcej. Na początku myślałem o tym ciągu jak o drzewie. Teraz to widzę jak system korzeni dążący do pnia, jakim jest liczba 1. Na dodatek zanegowałem liczbę startową jako element zbioru Colatza, bo jest bez żadnego znaczenia.
W miare wolnego czasu będę starał się omówić bardziej skomplikowane aspekty tych ciągów (np mosty Colatza, twierdzenie o parzystości, rodzice liczb itd)
Pozdrawiam
ps tekst można krytykować i cytować do woli pod warunkiem podania autora
Komentarze
Pokaż komentarze