Były czasy gdy na salonie uzyskać 1000 otwarć, wystarczyło byle co napisać. teraz sukcesem jest 100 odsłon. Nowy właściciel dba o to by s24 nie był konkurencją dla innych portali...
Świat jest zbudowany z różnych ciągów. Np ciąg liczb porządkowych czyli n+1. Mamy liczbę n (rodzic) i liczbę n+1 (dziecko). Liczba rodzić poprzez jakąś regułę generuje liczbę zwaną dziecko. Każdy rodzic ma dziecko. Każde dziecko ma jednego rodzica. W ciągach Collatza jest jednak inaczej. Jedno dziecko może mieć dwoje rodziców. Sztandarową taką cyfrą jest liczba 10. Występuje ona w ciągu 6,3,10,5.... oraz 30,20,10,5..... Takich liczb jest więcej. Każda gałąź (ciąg) Collatza ma co najmniej jedną taką liczbę. Te liczby to są mosty (węzły) jakie łączą wszystkie ciągi do pnia głównego.
Co to jest ten pień? Istnieje jeden ciąg Collatza uprzywilejowany (specjalny). Wszystkie inne ciągi zmierzają do niego i po skończonej liczbie kroków do niego trafiają. Cóż to za cudowny ciąg? Otóż jest to ciąg zawierający liczby 2 do potęgi k.
2^k
Dla czego on jest specjalny? To jedyny ciąg jaki nigdy nie trafia do drugiej reguły Collatza i w każdym kroku generuje liczby n/2, co zawsze kończy sie liczbą 1 i wpadamy w pętle 4,2,1. Czym mamy wyższą liczbę z innych ciągów, tym prawdopodobieństwo wpadnięcia do pnia 2^k jest mniejsze, ale nigdy zerowe. Zawsze możemy wygenerować coraz większą liczbę n^k i to tylko kwestia liczby kroków że na nią trafimy...a to sie zawsze kończy redukcją ciągu do 1 w najmniejszej możliwej liczbie kroków k.
Czy to jest jakiś dowód i rozwiązanie problemu Collatza. I tak i nie. Problem Collatza jest wielowątkowy i problemów jest tam więcej. Każdy z tych problemów trzeba traktować indywidualnie. Ciąg 2^k mówi nam tylko o tym że prawdopodobieństwo rozwijania sie ciągu w kierunku nieskończoności jest niemożliwy, a kierunek ku 1 ma skończone i realne prawdopodobieństwo. Ten sam wniosek można osiągnąć inną metodą (jaką też pokaże w kolejnych notkach).
Obrazowo można pokazać drzewo Collatza tak:
Na rysunku widać liczby z dwoma rodzicami. Ciekawi mnie czy ktoś jeszcze natrafił na ciągi w jakich liczby mają więcej niż 1 rodzica. Poza tym jest jeszcze jedna ciekawa własność tych ciągów. Ciekawe wnioski można też wyciągać z konstruktu jaki nazywamy odwróconym drzewem Collatza. Ma ono pewną zaletę. Jest ono dla naszego umysłu bardziej intuicyjne i warto pokusić się o jego analizę.
Mam nadzieję że zbyt szybko się nie zniechęcę i będę nadal badał te ciągi.
Pozdrawiam
ps tekst można krytykować i cytować do woli pod warunkiem podania autora
Komentarze
Pokaż komentarze